Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 14

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 137 >> Следующая


M = {1, 2, ..., 100) = {г- целое; KK 100) =

= 0 = 1.....100}.

Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не превосходит d, может быть записано в виде

S = {\x-a\ ^d) или S ¦=»{*: |*.-а|<Л,

где X — абсцисса точки.

Множество С точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса г с цеіітром в начале координат, может быть записано в виде

С = {х2 + у2<г*} или С = {{х, у): х2 + у2^г*}}

38 ГЛ. 2, АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

где X1 у — декартовы координаты точки, или же

С = (р < г},

где р —- одна из полярных координат точки.

По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество M = И, 2, ..., 100} конечно и состоит из 100 элементов. В частности, конечное множество может состоять из одного элемента.

Множество всех натуральных чисел N1 = H9 2, ... л, ...} бесконечно; так же бесконечно и множество четных чисел: N2 = (2, 4, ..., 2п, ...}. Бесконечное множество называется счетным, если все его члены можно расположить в какой-то последовательности, перенумеровать (оба множества Ni и N2 являются счетными).

Вышеупомянутые множества SnC оба бесконечны и несчетны (их элементы нельзя перенумеровать).

Два множества AnB совпадают (или равны), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения х2 — 5х + 4 = 0 совпадает с множеством (1, 4), а также с множеством (4, 1). Совпадение множеств обозначается знаком равенства: A=B.

Запись а є А означает: объект а является элементом множества А; другими словами, а принадлежит А. Запись а & А означает: а не принадлежит А.

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элементарно обозначается символом 0.

Пример: множество точек плоскости, координаты которых х, у удовлетворяют неравенству х2 + у2^ —1:

{х2 + у2<-1) = 0. >

Все пустые множества равны между собой.

Множество В называется подмножеством (частью) множества A1 если все элементы В содержатся также и в А; обозначение B^A или А эВ.

Примеры: И, 2, 3)s{l, 2, 3, 100); {х2 + у2^ < l}sb2+ у2 ^ 2).

Подмножество может быть равно самому множеству:

(1,2,3, 4} ?{1,2, 3,4). >

Отношения подмножества и множества можно наглядно изображать с помощью геометрической интерпретации (рис 2.1.1), где элементами множеств являются точки на плоскости; каждая точка фигуры В принадле-

2.1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

39

жпт также и фигуре А\

В^А.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С = А + В, состоящее из всех элементов А и всех элементов В (в том числе и тех, которые принадлежат и А и В). Короче: объединение двух множеств —это

совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.

Объединение множеств А и В часто обозначают A U Bx, Так как мы будем обычно называть объедипеиио событий их суммой, нам удобнее обозначать эту операцию знаком «+». Очевидно, что если ?si, то А + + B = A.

Примеры: 1) {1, 2, 100) + {50, 51, 200) =

-{I1 2..... 200); 2) {I1 2, 100}+ {1, 2..... 1000} =

«{I1 2, 1000J; 3) {х2 + у2 <2) + {х2 + у2<4) - {х2 + + у2<4).

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В дана на рис. 2.1.2, где А и ? —множества точек, входящих соответственно в фигуры А и В.

Аналогично объединению двух множеств определяется объединение (сумма) нескольких мпожеств, а именпо

есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств Аи A2, An» Рассматриваются также объединения бесконечного (счетного) числа множеств, например:

{1, 2} +{2, 3} + {3, 4)+ ... + {/7-1, «} + ...«

-{1, 2, 3, /г, ...}.

Рис. 2.1.2

п

A1 + A2 + ... + An - 2 M

40 ГЛ 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D = А В, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А и в В.

Пересечение множеств А и В часто обозначают А Л В, но мы (опять-таки в целях удобства) будем обозначать эту операцию знаком произведения «•» или «X», а иногда, как принято в алгебре, и совсем опуская этот знак. Очевидно, что если В s А, то AB = B.

Примеры: (1, 2, 10O)X X (50, 51, 200) = (50, 51, ... ,_. 100); (1, 2, 100) (1, 2, ...

Рис. 2.1.3 50}==={1» 21 50>- Геометри-

ческая интерпретация пересечения (произведения) двух множеств А и В дана на рис. 2.1.3.

Аналогично определяется пересечение нескольких

п

множеств; множество A1-A2*... • An= JJ Ai состоит из

i = l

элементов, входящих одновременно во все множества Аи A2, ..., An. Определение распространяется и на беско-

oo

нечное (счетное) число множеств: Ц Ai есть множество,

состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества Ai4 A2, ..., Л„, ...

Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

А + В = В + A; A B = B А.

2. Сочетательное свойство:

(А+В) + С = А+(В + С); {AB)C = А (ВС).
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed