Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
0,497
530
0,513
140
0,500
340
0,50()
540
0,515
150
0,493
350
0,497
550
0,513
100
0,475
360
0,497
560
0,511
170
0,471
370
0,495
570
0,512
180
0,472
380
0,492
580
0,509
190
0,463
390
0,500
590
0,507
200
0,465
400
0,498
600
0,505
2. Это приближение идет довольпо медленно (гораздо медленнее, чем хотелось бы!), но явно прослеживается на экспериментальном материале.
3. Колебания частоты около вероятности носят случайный, незакономерный характер. Если бы мы повторили тот же массовый опыт (произвели бы другие 600 бросаний монеты), то кривая зависимости частоты Р* (А) от числа опытов п имела бы другой конкретный вид, но, по-видимому, общая тенденция приближаться к 0,5 сохранилась бы.
Теперь спросим себя: можно ли сказать, что при увеличении п частота Р* {A) стремится к вероятности P (А) в обычном математическом смысле слова? Нет, Этого сказать нельзя, имеїшо в связи со случай-
32
ГЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
н о с т ь ю процесса приближения. В самом деле, теоретически, например, могло ли бы случиться, что все 600 раз выпал герб и р* (А) оказалось равным единице? Теоретически могло бы, а на практике — нет. Вероятность того, что все 600 раз выпадет герб, настолько мала (в дальнейшем (см. гл. 2, п. 2.4) мы вычислим ее и убедимся, что она равна (1/2 ) 600), что можно пренебречь возможностью такого совпадения. Подсчеты показывают,
Р*(Л) 0,650 -1
0,600
0,550
0,500 ----
0,Ш -
__I_I_1_I_I_1_
0 100 200 300 Ш 500 600 п
Рис 1.3.1
что даже значительно меньшие отклонения частоты от вероятности при п = 600 практически не встречаются. Забегая вперед (см. гл. И), сообщим читателю, что при шестистах бросаниях монеты частота появления герба почти наверное не отклонится от 0,5 больше, чем 0,06 (в дальнейшем вы научитесь сахмостоятельно находить такие границы, за которые практически наверняка не выйдут отклонения численного результата опыта от заранее предсказанного или искомого значения (см. гл. 11)).
Подмеченная нами на конкретном примере закономерность имеет более общий смысл. А именно, если воспроизводить достаточное число раз один и тот же опыт со случайным исходом, в котором может появиться или не появиться событие A1 частота р*(^) этого события
І.З. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 33
2 Теория вероятностей и д<: инженерные приложения
имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к некоторому постоянному числу; естественно предположить, что это число и есть вероятность события. Проверить такое предположение мы, естественно, можем только для событий, вероятности которых могут быть вычислены непосредственно, по формуле (1.2.1), т. е. для опытов, относящихся к схеме случаев. Многочисленные массовые эксперименты, проводившиеся разными лицами со времен возникновения теории вероятностей, подтверждают это предположение: частота события при увеличении числа опытов действительно приближается к его вероятности. Естественно допустить, что и для опытов, не сводящихся к схеме случаев, тот же закон остается в силе и что постоянное значение, к которому при увеличении числа опытов приближается частота события, и есть не что иное, как вероятность события. Тогда частоту события при достаточно большом числе опытов можно принять за приближенное значение вероятности. Знание законов теории вероятностей позволяет оценить ошибку этого приближенного равенства, а также найти число опытов /г, при котором можно с достаточной степенью достоверности ожидать, что ошибка не превзойдет данной величины.
Специально отметим, что характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа опытов существенно отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле слова. Когда в математике мы говорим, что переменная Xn с возрастанием п стремится к постоянному пределу а, это значит, что разность |.rn —а I становится меньше любого положительного е для всех значений /г, начиная с некоторого. Относительно частоты и вероятности такого категорического утверждения сделать нельзя. Нет ничего физически невозможного в том, что частота события при большом числе опытов сильно отклонится от его вероятности, но такое отклонение оказывается практически невозможным— настолько маловероятным, что можно не принимать его в расчет.
Таким образом, при увеличении числа опытов п частота события приближается к его вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, тем большей, чем большее число опытов произведено.
Такой способ приближения одних величин к другим очень часто встречается в теории вероятностей, лежит
34 гл. і. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОГИТТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
в основе большинства ее выводов и рекомендаций и носит специальное название: «сходимость по вероятности».
Говорят, что величина А'я сходится по вероятности к величипе а, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства \Хп — а\ < г с увеличением п неограниченно приближается к единице.
