Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы убедиться в полезности вероятностных методов предсказания, предлагаем читателю (если он не ленив и любопытен) нроделать элементарный опыт: бросить монету любого достоинства N = 1000 раз (для простоты можно бросать сразу по 10 штук, тщательно перетряхнув их в коробке) и подсчитать число появившихся гербов. На основе вероятностных методов можно утверждать с практической достоверностью (в данном случае с вероятностью приблизительно 0,997), что число выпавших
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 21
*) О том, как делаются такие предсказания, можно узнать в гл. 10, и. 10.2, пример 12.
гербов не выйдет за пределы (453-і- 547)*). Не слишком точное предсказание, не правда ли? Но ведь не пользуясь вероятностными методами, мы могли бы дать только одно, строго достоверное, но зато тривиальное предсказание: число выпавших гербов будет заключено в пределах (0 -г 1000).
1.2. Непосредственный подсчет вероятностей
Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.
Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании пгральпой кости. Если кубик выполнен симметрично, «правильно» (центр тяжести не смещен ни к одной из граней), естественно предположить, что любая из шести граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие «выпадет какая-то из граней» имеет вероятность, равную единице, и распадается на шесть одинаково возможных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), то естественно приписать каждому из них вероятность, равную 1/6.
Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных исходов, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.
Симметрия возможных исходов чаще всего наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения (например, тасовка карт или костей домино, которая для того и производится, чтобы каждая из них могла быть выбрана с одинаковой вероятностью; или же приемы случайного выбора группы изделий для контроля качества в заводской практике). В таких опытах подсчет вероятностей событий выполняется всего проще. Не случайно первоначальное свое развитие (еще в XVII веке) теория вероятностей получила на материале азартных игр, которые поколениями вырабатывались именно так, чтобы
22 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
*) Исход «монета встанет на ребро» мы отбрасываем, как ничтожно маловероятный (практически невозможный).
**) Во всех задачах «па урпы» здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что шары тщательно персмешапы.
результат опыта не зависел от поддающихся контролю его условий (рулетка, кости, карточные игры). Прием непосредственного подсчета вероятностей, исторически возникший вместе с математической теорией случайных явлений, был положен в основу так называемой «классической» теории вероятностей и долгое время считался универсальным. Опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводились к «классической» схеме.
Несмотря на ограниченную сферу практического применения этой схемы, она все же представляет известный интерес, так как именно на ней легче всего познакомиться со свойствами вероятностей.
Перед тем как дать способы непосредственного подсчета вероятностей, введем некоторые вспомогательные понятия.
1. Полная группа событий. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них.
Примеры событий, образующих полную группу:
1) «выпадение герба» и «выпадение решки» при бросании монеты *);
2) появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости;
3) «два попадания», «два промаха» и «одпо попадание, один промах» при двух выстрелах по мишени;
4) «появление белого шара» и «появление черного шара» при вынимании одного шара из урпы, в которой 2 белых и 3 черных шара **);
5) «появление хотя бы одного белого» и «появление хотя бы одного черного шара» при вынимании двух шаров из той же урны.
Специально обратим внимание на последний пример. В нем даны два события, которые не исключают друг друга: в самом деле, если вынуть 1 белый и 1 черный шар, появляется и то и другое. Но не зря же при определении полной группы событий мы сказали «неизбеж-
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 23
но должно появиться хотя бы одно iiз них» («хотя бы одно» значит «одно или больше»). Если события образуют полную группу, то опыт не может кончиться помимо н и х. К полной группе событий можно прибавлять еще какие угодно события, любые исходы опыта; от этого полнота группы событий не утрачивается.
2. Несовместные события. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Примеры несовместных событии:
1) «выпадение герба» и «выпадение решки» при бросании монеты;
