Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Что касается формулы (1.2.1), то она сохраняется ныне лишь для подсчета вероятностей событий в опытах, обладающих симметрией возможных исходов. Приведем несколько примеров ее применения.
26
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пример 1. В урне находится 5 шаров, из которых 2 белых и 3 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение. Обозначим А интересующее нас событие:
А = {появление белого шара) *).
Общее число случаев п = 5; из них два благоприятны событию A: /7ia = 2. По формуле (1.2.1) P(A) = 2/5. >
Пример 2. В урне 7 шаров: 4 белых и 3 черных. Из нее вынимаются (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба они будут белыми:
В = {оба шара белые).
При решении этой задачи и других ей подобных мы будем пользоваться элементарными формулами комбинаторики, в частности, формулой для числа с о ч е т а н и и. Число сочетаний из к элементов но / — это число способов, какими можно выбрать / различных элементов из к\ обозначается оно С[ и вычисляется по формуле: ri .,.(к - lJ- D
1-2.../
Или, пользуясь знаком факториала (!)
ri k(k-\) ...(k-1+i) JA м 9 9ч
Число сочетаний обладает следующими свойствами:
Ch a rl sih-l /-її ]л, /-if) Wi-o /ih л
Пользуясь формулой (1.2.2), решим пример 2. Решение. Общее число случаев в примере 2 равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 7:
1-2
л-с;-^-2ів
а число случаев, благоприятных событию 5,— это число способов, какими можно выбрать 2 белых шара из 4:
*) Здесь и в дальпеіішем мы будем пользоваться подобпым обозначением событий, ставя в фигурные скобки их словесное описание.
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
27
Отсюда
р<*>—г- >
П р п м е р 3. В партии из К изделии M дефектных. Из партии выбирается для контроля к изделий (к<К). Найти вероятность того, что среди них будет ровно т дефектных (т ^ k).
Решение. Общее число случаев п = Ск. Найдем mD — число случаев, благоприятных событию
Z) = {poBHo т дефектных изделий в контрольной партии).
Найдем сперва число способов, какими из M дефектных изделии можно выбрать т для контрольной партии; оно равно Сд/. Но ото еще не все: к каждой комбинации дефектных изделий пужно присоединить комбинацию из fc — т доброкачественных; это можно сделать Ск-^і способами. Каждая комбинация из т дефектных изделий может сочетаться с каждой комбинацией из к — т доброкачественных; число тех и других комбинаций надо перемножить. Поэтому число благоприятных событию D случаев равно яїд^СдгСк-лі и
Пример 4. Некто выбирает наугад 6 клеток «Спортлото» (6 из 49). Найти вероятность того, что он правильно угадает из числа выигравших 6 номеров:
А = {ровно три),
В =» {ровно четыре},
С ={ровно пять},
D = {все шесть}.
Решение. Нетрудно убедиться, что задача по структуре полностью совпадает с предыдущей, если считать «дефектными» выигравшие номера, а «доброкачественными»—не выигравшие. Применяя формулу (1.2.3), полагая в ней = 49, M = 6, а т — последовательно равным 3, 4, 5, 6, получим:
р(4)--^^1,765.10-2, p(B) ^ -iLH^c^S?.lO-4,
(1.2.3)
/¦»4^2
1,845.10"5,
p(D)
7,151-Ю-8. »>
28
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пример 5. Опыт состоит в одновременном (или последовательном) бросании двух монет. Найти вероятность события
А = {хотя бы на одной монете выпадет герб).
Решение. С первого взгляда легкомысленному и торопливому читателю может показаться, что в данной задаче три случая:
Лі —{два герба); A2 = {две решки);
A3 = {герб и решка).
Однако это неверно: эти события неравновозможны; последнее вдвое вероятнее каждого из остальных. Составим схему случаев; для этого назовем монеты: первая и вторая (если они бросаются последовательно, первой будет первая по времени; если одновременно, то, например, та, центр которой ляжет севернее). Случаями будут следующие события:
Bi ={на первой монете герб, на второй герб), B2 =* {на первой монете решка, на второй решка), B3 = {на первой монете герб, на второй решка), A4 = {на первой монете решка, на второй герб). Найдем p(A). Из четырех случаев событию А благоприятны все, кроме B2] значит, тА = 3 и P (А) = 3/4. Событию A3 = {герб и решка) благоприятны два последних случая B3 и #4, откуда P (A3) = 2/4 «* 1/2, т. е. событие A3 вдвое вероятнее каждого из событий A1 и A2. >
1.3. Частота пли статистическая вероятность события
Как уже знаем, формула (1.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей применима только тогда, когда опыт, в результате которого может появиться интересующее нас событие, обладает симметрией возможных исходов. Очевидно, это далеко не всегда так, и существует огромный класс событий, вероятности которых нельзя вычислять по «классической» формуле.
Возьмем, к примеру, неправильно сделанпую игральную кость (со смещенным центром тяжести). Событие А = {выпадение 5 очков) уже не будет обладать вероятностью 1/6. Но какой же? И как ее найти? Ответ интуитивно ясен: надо «попробовать» побросать кость доста-
