Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Противоположным по отношению к событию А называется событие A, состоящее в непоявлении А и, значит, дополняющее его до Q (рис. 2.2.4).
На основе вышеизложенной трактовки событий как множеств сформулируем аксиомы теории вероят-
44
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ностей. Пусть каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события. Вероятность события А мы будем обозначать p(A)*). Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.
Потребуем, чтобы вероятности событий удовлетворяли следующим аксиомам:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
0<Р(4)<1.
2. Если AuB несовместные события (AB = 0), то
р (А + В) = p (A) + p (В). (2.2.1)
Аксиома (2.2.1) легко обобщается (с помощью сочетательного свойства сложения) на любое число событий: если AiAj — 0 при і Ф /, то
(2.2.2)
т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Аксиому сложения вероятностей (2.2.2) иногда называют «теоремой сложения» (для опытов, сводящихся к схеме случаев, она может быть доказана), а также правилом сложения вероятностей (мы будем предпочтительно пользоваться последним термином).**)
3. Если имеется счетное множество несовместных событий Ai1 Аи An, ... (A1Aj = 0 при іФ j), то
P ff - І P (4). (2.2.3)
Третью аксиому приходится вводить отдельно, так как она не выводится из второй.
Вернемся к понятиям «полная группа событий», «несовместные события», «равновозможные события», о ко-
*) Если событие (множество) обозначается не буквой, а его словесным описанием, или формулой, или просто перечислением элементов множества, мы будем при записи вероятности пользоваться не круглыми, а фигурными скобками, например
Р{хг + У*<г*}.
**) Напомним, что частоты событий (п. 1.3) также подчиняются этому правилу.
2.2 АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 45
торых мы говорили в п. 1.2 и дадим им теоретико-множественную формулировку.
Понятие «несовместные события» мы уже рассмотрели: события Alf A21 .... An несовместны, если AA^ 0 при і Ф /.
События Ai1 A21 .... An образуют полную группу, если
2 Ax = Q. (2.2.4) і=і
События Ai1 A21 An равно возможны, если
P (A1) - P (A2) = ... = P (An). (2.2.5)
Если группа событий обладает всеми тремя свойствами — полноты, несовместности и равновозможности, то их называют случаями.
Выведем из аксиомы сложения (2.2.2) «классическую» формулу (1.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей. Пусть результаты опыта могут быть представлены в виде п случаев A11 A21 An. Случай Ai благоприятен событию А, если он представляет собой подмножество A (Ax s А), иначе — вариант события А.
Так как случаи A11 A2, An образуют полную группу, то
2 A1 = й.
1=1
Так как случаи Аи A21 An несовместны, то к ним применимо правило сложения вероятностей:
\i=l / i==l
Так как случаи A1, A21 An равновозможны, то P(A1)-P[A2)- ... -Р(Ап)-1/п.
Благоприятные событию А случаи образуют тл его вариантов; так как вероятность каждого из них равна Vn1 то, по правилу сложения,
P(А) = !//г + Vn + ... + \Щ -
раз
а это и есть уже знакомая нам «классическая формула» (1.2.1).
46 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислять вероятности любых событий (подмножеств пространства Q) через вероятности элементарных событий (если их конечное или счетное число). Вопрос о том, откуда берутся вероятности элементарных событий, при этом не рассматривается. На практике они определяются либо непосредственно по условиям опыта (если он обладает симметрией возможных исходов), либо на основе экспериментальных статистических данных (если он такой симметрией не обладает, что бывает значительно чаще).
Правило сложения вероятностей имеет ряд важных следствий. В качестве одного из них докажем, что сумма вероятностей полной группы несовместных событий рае-на единице, т. е. если
п
2 A1 = Q] AiAj= 0 при і Ф /,
то
2 P(A1)= I. (2.2.6)
Действительно, так как события Аи A2, .... An несовместны, то к ним применимо правило сложения:
p(s Xi)-S Р(4) = Р(й) = і.
В частпости, если два события AnA противоположны, то они образуют полпую группу несовместпых событий и
P(A) + P(A) = 1,
т. е. сумма вероятностей противоположных событий рае-на единице.
Это свойство противоположных событий очень широко применяется в теории вероятностей. Часто бывает проще вычислить вероятность противоположного события Л, чем вероятность^ интересующего нас события А. Тогда вычисляют P(A), вычитают ее из единицы и находят:
P(Л) = 1-P(J). (2.2.7);
Таким приемом мы очень часто будем пользоваться в дальнейшем.
2 2. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
47
Выведем еще одно следствие правила сложения. Если события Л и В совместны (AB Ф 0), то
P (А + В) - P (А) + P (В) - P (Л/?). (2.2.8)
Докажем его. Представим событие Л -ь ? как сумму трех несовместных вариантов (см. рис. 2.2.5)
