Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
57
— {выпадение герба у второго} смело можно считать независимыми. Если опыт состоит в том. что некто стреляет п раз по мишени, каждый раз прицеливаясь заново и не вводя поправку на ранее допущенную ошибку, то события A2, ..., An1 где = {попадание при і-м выстреле} можно считать независимыми. Если же стрельба ведется очередью из автоматического оружия и прицеливание производится однажды перед всей очередью, те же события будут уже зависимыми, так как ошибка прицеливания будет общим случайным фактором, влияющим на все выстрелы.
Мы знаем, что в природе нет абсолютно независимых явлений, но есть практически независимые. Так же обстоит дело и с событиями: у некоторых из них зависимость настолько слаба, что их можно в расчетах полагать независимыми и, вычисляя вероятность их произведения, просто перемножать вероятности этих событий.
С понятием «независимых событий» тесно связано понятие «независимых опытов». Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события. Пример независимых опытов: п бросаний монеты, в каждом из которых может появиться «герб» или «решка». Пример зависимых опытов: п дней подряд измеряется температура воздуха в одном и том же пункте в одно и то же время дня; в результате каждого опыта могут появиться или не появиться события
А = и°<0)\ Я = {0<*°<10°С} и С = {*°>10°С}.
Совершенно очевидно, что опыты являются зависимыми.
Пример 7. Возвращаясь к п. 1.1, подсчитать вероятность того, что в результате описанных 25 опытов мы запишем первую строку «Евгения Онегина».
Решение. 25 опытов в примере п. 1.1 независимы; применяя правило умножения для независимых событий, получим:
т. е. вероятность события А настолько мала, что его можно смело считать практически невозможным. >
Пример 8. Вычислить вероятность события В = {при N = 600 бросаниях монеты все 600 раз появится герб}.
58
ГЛ 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Pe шеи и е. По правилу умножения для независимых событий
Р(В)==(1/2)600 а2,40.10~181,
что еще значительно меньше, чем вероятность события Л в предыдущем примере. >
2.4. Примеры применения основных правил теории вероятностей
Правило сложения и правило умножения вероятностей редко применяются порознь; обычно они применяются вместе. Наиболее типична следующая схема: событие Л, вероятность которого требуется найти, представляется в виде суммы нескольких вариантов
А -Ai + Аг + ... + А*.
Каждый из вариантов представляется в виде произведения каких-то событий. Вероятность каждого варианта вычисляется по правилу умножения, затем вероятности вариантов складываются. Бывают и более сложные схемы, где вероятность каждого из событий, произведением которых образован вариант, в свою очередь вычисляется по правилу сложения, и т. д.
Ниже мы приводим ряд примеров на применение основных правил теории вероятностей.
Пример 1. Имеется две урны, в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй — 4 белых и 2 черных. Из каждой урны вынимается по одному шару. Найти вероятность того, что они будут одного и того же цвета.
Реше н и е. Событие А = (оба шара одного цвета) можно представить в виде суммы двух вариантов:
Лі== {оба шара белые); A2 = {оба шара черные);
Ai +A2.
Каждый из вариантов есть произведение двух событий:
Ai = Bi В2\ A2 = C1 Сг,
где
Bi = {из первой урны вынут белый шар), B2 = {из второй урны вынут белый шар}, Ci = {из первой уриы выпут черный шар}, Cz «¦ {из второй урны вынут черный шар},
2 4. ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 59
События Bi, B2 между собой независимы; также и события Ci, C2. Применяя правило умножения для независимых событий (2.3.7), получим:
P (A1) - P (B1) P (B2) - (2/5).(4/6) - 4/15;
P (A2) - P (C1) P (C2) - (3/5). (2/6) = 1/5.
Так как варианты A1 и A2 несовместны, то по правилу сложения
P(A) = P (A1) + P (A2) = 4/15 + 1/5 - 7/15. >
Пример 2. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что шары будут разных цветов:
D = {шары разных цветов).
Решение: Можно было бы, конечно, как в предыдущем примере, представить D в виде суммы двух вариантов:
Di = {из первой урны вынут белый шар,
из второй — черный), D2 = {из первой урны вынут черный шар,
из второй — белый),
но гораздо проще будет решить задачу, воспользовавшись результатами предыдущего примера; действительно, событие D противоположно событию А предыдущего примера: D = A1 откуда P (D) - 1 - P (А) = 8/15. >
Пример 3. Производятся три независимых выстрела по мишени; вероятности попадания в мишень при первом, втором, третьем выстреле равны соответственно Pi1 р2і рг. Найти вероятность того, что в мишень произойдет ровно два попадания.
Решение. Событие А — {ровно два попадания) представим в виде суммы трех несовместных вариантов:
А = {попадание при первом, попадание при втором и промах при третьем выстреле) + + {попадание при первом, промах при втором
и попадание при третьем выстреле) + + {промах при первом, попадание при втором
и попадание при третьем выстреле).
