Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Вероятности промаха при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 1 — ри 1 — />2, 1 — р*.
60
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Применяя правило умножения для независимых событий и складывая вероятности вариантов, получим
P(А) - P1P2(I —P3) + P1(I-P2)P3 +(1 —P1) P2Ps- >
Пример 4. В условиях предыдущего примера найти вероятность хотя бы одного попадания.
Решение. Можно было бы событие C = {хотя бы одно попадание} представить в виде суммы трех вариантов: Cx = {ровно одно попадание}; C2 — {ровно два попадания} и C8 = {все три попадания} и найти вероятность каждого из них подобно тому, как это было сделано выше.
Но гораздо проще будет от события С перейти к противоположному событию: С = {ни одного попадания}.
Событие С есть произведение трех независимых событий:
С «¦ {промах при первом выстреле} • {промах при втором выстреле} • {промах при третьем выстреле}.
По правилу умножения для независимых событий имеем
P(C) = (I-P1)(I-P2)(I-P3),
откуда
P(C) = I-P(O = I-(I-P1)(I-P8)(I-P8).
Почему в данном примере оказалось выгодным перейти к противоположному событию С? Потому что оно представляет собой только один вариант (все три промаха) вместо трех вариантов C1, C2, C3. >
В связи с этим можно сформулировать одну практическую рекомендацию: если в данной задаче противоположное событие А распадается на меньшее число вариантов, чем интересующее нас Л, то имеет смысл при вычислении вероятности переходить к противоположному событию.
Пример 5. Из колоды карт, содержащей 32 листа, вынимается наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз.
Решение. При нахождении вероятности события А — {хотя бы один туз} JiBHO выгоднее перейти к проти-воположйому событию А = {ни одного туза} А\ • А% X X A3 - Ah
2.4. ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
61
где
{первая карта не туз}, {вторая карта не туз}, {третья карта не туз),
A1 A1 А, А,
{четвертая карта не туз}.
События Ai9 A2, A3, Ак зависимы. По правилу умножения вероятностей (2.3.7) имеем:
р (А) - P (A1). P (A2 \At). P (A31 A1A2). P (Л41 A1A2A3).
Тузов в колоде 4; не тузов 32 — 4 = 28. Учитывая это, имеем:
р (А) - (28/32) • (27/31) • (26/30) - (25/29) да 0,568, откуда P (А) - 1 - P (А)да 0,432. >
Пример 6. В шкафу находятся девять однотипных приборов. В начале опыта они все новые (ни разу не бывшие в эксплуатации). Для временной эксплуатации берут наугад три прибора; после эксплуатации их возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в эксплуатации, ничем пе отличается от нового. Такого рода операция производится три раза. Найти вероятность того, что в результате трехкратного выбора и эксплуатации в шкафу останется хотя бы один новый прибор.
Решение. От события А — {хотя бы один новый прибор} выгоднее перейти к противоположному: A =» — {ни одного нового прибора). Событие А может произойти одним-единственным способом: и первый раз, и второй, и третий из шкафа будут взяты новые приборы. Первый раз это обеспечено; поэтому
P(A) - 1-(6/9).(5/8).(4/7).(3/9).(2/8).(1/7) да 0,0028, Откуда P (А) да 1 — 0,0028 да 0,997.
Итак, событие А имеет высокую вероятность 0,997 и может, пожалуй, считаться практически достоверным (предсказыЁая его, мы будем ошибаться примерно в 0,3% случаев). >
Пример 7. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью г (независимо от других) является дефектным. Для контроля из продукции завода выбирается наугад п изделий. При осмотре дефект, если он существует, обнаруживается с вероятностью р. Найти
62 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
вероятности следующих событий:
А = (ни в одном из изделий не обнаружено дефекта); B = {среди п изделий ровно в двух обнаружен дефект); C = {среди п изделий не менее чем в двух обнаружен
дефект).
Решение. Вероятность того, что в одном наугад взятом изделии обнаружен дефект, равна гр (г—вероятность того, что дефект есть, р — условная вероятность того, что дефект будет обнаружен при условии, что он есть); вероятность того, что дефект не обнаружен, равна 1 — гр. По правилу умножения для независимых событий
Р(А) = (1-гр)п.
Найдем вероятность события В. Оно распадается на столько вариантов, сколькими способами можно из п изделий выбрать два, в которых обнаружен дефект, т. е.
на Cn = вариантов. Вероятность каждого из них
равна {rp)2(l — гр)п~2; эти варианты несовместны; по правилу сложения
р(д). »i«^iI(rpJ.(l_rp,«-».
Чтобы найти вероятность события С, перейдем к противоположному событию:
С = {менее чем в двух изделиях обнаружен дефект}, которое распадается на два варианта:
C0 = {ни в одном изделии не обнаружено дефекта}, Ui = {ровно в одном изделии обнаружен дефект}.
C = C0+ Cx. По правилу умножения
Р(С0) = Р(Л) = (1-гр)п. По правилам умноження и сложения:
P (C1) = CIrр (1 - гpf-1 - nrp (1 - гр)п-\ Отсюда
P(C) = P (C0) + P (C1) = (1 - гр)""1 (пгр +1-гр) и _
P(C) = I-P(C) = I-(I-TPf-1I(W-I)^ + 1]. >
2 4 ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
