Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
2.3. Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей
Пусть производится опыт со случайным исходом, в результате которого могут произойти (или не произойти) какие-то события А и Я.
Условной вероятностью события В при наличии А называется величина
Р(В\ A) = P(AB)IP(A) (прп этом предполагается, что P(A)^O)n
(2.3.1)
2 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
51
Вспомним, как мы определяли в п. 1.3 условную частоту события В при наличии А\ один из способов ее определения состоял в том, что мы делили частоту события AB на частоту события А. Условная частота имеет и другой смысл: это —частота события B1 вычисленная при условии, что событие А произошло. Точно так же и условную вероятность P (В \ А ) можно трактовать, как вероятность события B1 вычисленную при условии (в предположении), что событие А произошло.
На практике формулу (2.3.1) обычно читают «в обратном порядке», для чего записывают ее в виде:
P(AB) = P(A)-P(B[A)1 (2.3.2)
т. е. вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.
Сформулированное правило мы будем называть правилом умножения вероятностей*). Его статистический аналог — правило умножения частот — мы уже рассматривали в п. 1.3.
Совершенно очевидно, что неважно, какое событие выбрать первым, а какое — вторым. Поэтому правило умножения вероятностей можно записать и в виде
P(AB) = P(B)-P(А\ В) (2.3.3)
(при этом предполагается, что Р(В)фО).
Очевидно, что если событие А достоверно (A=Q)1 то Q B = B и P(Q-B) = P(B).
Пример 1. Из урны, содержащей 4 белых и 3 черных шара вынимаются (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение. Представим событие
С = {оба шара белые) как произведение двух событий:
C = AB,
где
А = {первый шар белый}, B = {второй шар белый).
*) Иногда это правило называют теоремой умножения вероятностей.
52 ГЛ 2 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
*) Мы уже говорили о том, что безразлично, вынимаются ли тары последовательно или одновременно; во втором случае можно их перенумеровать любым способом.
Найдем вероятность события С по формуле (2.3.2): P(C) = P (AB) = P (Л) P (? | Л).
Очевидно P (А) = 4/7. Найдем P (В | Л). Для этого предположим, что событие Л уже произошло, т. е. первый шар был белым. После этого в урне осталось 6 шаров, из которых 3 —белые:
P (В I Л) = 3/6 = 1/2.
Отсюда
P(C) ==(4/7).(1/2) = 2/7.
Кстати, точно такую же вероятность появлепия двух белых шаров мы получили другим способом в примере 2 п. 1.2. >
Пример 2. В урпе 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов.
Решение: Событие C = {шары разных цветов) распадается на сумму двух несовместпых вариантов:
С == Ci "і- C2,
где
Ci = (первый шар белый, второй черный), C2 = (первый шар черный, второй белый).
Вероятность каждого из вариантов найдем по правилу умножения. Не вводя специальных буквенпых обозначений для событий, произведением которых образован вариант Си вычислим его вероятность сразу по правилу умножения: умпожим вероятность того, что первый шар белый, на условную вероятность того, что второй шар черный, при условии, что первый — белый:
P(C1) = (5/7).(2/6) = 5/21.
Так же вычислим и вероятность второго варианта: P(C2) = (2/7).(5/6) = 5/21.
Отсюда, по правилу сложения вероятностей, P(C) = P(C1)H-P(Q = IO^l*). >
2.3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 53
Правило умножения вероятностей (2.3.2) легко обобщается на случай произвольного числа событий:
P(A1A2 ...An) —
-P(A1) P(A2]A1)P(A3]A1A2)... P(An]A1A2... An^1), (2.3.4)
т. е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Пример 3. В урне 5 перенумерованных шаров с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Из урны один за другим вынимаются все 5 шаров. Найти вероятность того, что их номера будут идти в возрастающем порядке.
Решение. Событие і4 = {1, 2, 3, 4, 5). По формуле (2.3.4)
P(A) = (1/5).(1/4).(1/3).(1/2) - 1/120. >
Особенно простой вид получает правило умножения вероятностей в случае, когда события, образующие произведение, независимы.
Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло В или нет, т. е. P(A]B) = P(А).
В противном случае, если P (А \В) Ф P (А), событие А зависит от В.
Зависимость и независимость событий всегда взаимны: если А зависит от В, то и В зависит от Л, и наоборот.
Докажем это. Пусть событие А не зависит от В: P(A]B) = P(A). Запишем правило умножения в двух формах:
P (AB) - P (A) P (В I А) = P (В) P (А I В). (2.3.5)
Отсюда, заменяя в последнем выражении условную вероятность P(A]B) на «безусловную» P(A)1 имеем:
P(A)P(B] A) = P(B)P(A).
Или, предполагая, что P (А)ф0, и деля обе части равенства на P (А),
