Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
63
Пример 8. Прибор состоит из п блоков, каждый из которых (независимо от других) за время і эксплуатации прибора может отказать (вьнпи из строя). Надежность (вероятность безотказной работы за время t) каждого блока равна р. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы прибора в целом. Найти вероятность того, что в течение времепи t прибор будет работать безотказно.
Решение. Событие А = {безотказная работа прибора) есть произведение п независимых событий A19 A29 ... An, где A1 — {безотказная работа 1-го блока).
По правилу умножения для независимых событий
P(A)-P». >
Пример 9. Прибор, обладающий падежпостыо (вероятностью безотказной работы за время t)9 равной р9 представляется недостаточно надежным. Для повышения надежности оп дублируется еще одним точно таким же работающим прибором. Если первый прибор за время t отказал, происходит автоматическое (и безотказное) переключение на дублирующий. Приборы отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что система из двух приборов проработает безотказно время t.
Решение. От события
В = {система будет работать время і)
перейдем к противоположному:
В ~{система не будет работать).
Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали (вышли из строя) за время *_оба прибора: и основной, и дублирующий. Событие В есть произведение двух событий:
В = {основной прибор отказал за время І) X
X {дублирующий прибор отказал за время t). По правилу умиожепия для независимых событий:
P(A)-(I-P)(I-P) = (I-P)8; P(A)-I- P(B) = 1-(1 — р)2. ^
Пример 10. Сколько нужно поставить дублирующих приборов с той же надежностью р9 что и основной,
64
ГЛ. 2. аксиоматика теории вероятностей
чтобы надежность системы приборов была не ниже заданной величины
Решение. Если система состоит из п приборов (один основной и (я — 1) дублирующих), то ее надежность (вероятность безотказной работы) равна
P(B) = I-(I-P)".
Мы хотим, чтобы эта надежность была не меньше заданной
Преобразуем неравенство к виду
(1-р)п^1~*.
Откуда, логарифмируя, имеем
HIg(I-P)^Ig(I-*)'.
Деля левую и правую часть на отрицательную величину Ig(I — р), получим
n>lg(i-^g(i-p). (2.4.1)
Таково общее число приборов в системе (один основной плюс (гс—1) дублеров), гарантирующее ее надежность не менее заданной >
Пример 11. Прибор (см. пример 9) имеет надежность р; для ее повышения он дублируется еще таким же прибором, но не с полной достоверностью: переключающее устройство имеет надежность рп. Надежность системы:
P (4) = 1- (і_р)(і_Рвр). %>
Пример 12. По каналу связи передается 5 сообщений. Каждое из них (независимо от других) с вероятностью 0,2 искажается. Найти вероятности следующих событий:
А -= {все сообщения будут переданы без искажений);
2?— {все сообщения будут искажены);
С = {не менее двух сообщений будет искажено).
Решение. Вероятность того, что отдельное сообщение будет передано без искажепий, равна 1 — 0,2 = 0,8.
По правилу умножения вероятностей для независимых событий
P (А) - 0,85 да 0,328; P (В) - 0,28 да 0,00032
2.4. ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 65
(событие В можно считать практически невозможным). Чтобы найти P(C), перейдем к противоположному событию:
С —(менее двух сообщений будет искажено) = C0 + Си где
C0 = {ни одно сообщение не будет искажено), Ui = {ровно одно сообщение будет искажено). Так как C6 = A1 P (C0) «0,328.
Событие Ct распадается на 5 несовместных вариантов (искажено может быть любое из 5 сообщений); вероятность каждого варианта по правилу умножения равна 0,2-0,8*; отсюда
р (C1) = 5.0,2-0,8* «0,410.
Находим P (С) « 0,328 + 0,410 = 0,738.
Откуда P (С)« 1 — 0,738 = 0,262. >
Пример 13. Происходит воздушный бой между истребителем и бомбардировщиком. Начинает стрельбу истребитель; он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью 0,2. Если бомбардировщик не сбит, он отвечает истребителю огнем и сбивает его с вероятностью 0,3. Если истребитель не сбит, он продолжает атаку, подходит к бомбардировщику ближе и сбивает его с вероятностью 0,4. Найти вероятности следующих исходов воздушного боя:
А — {сбит бомбардировщик);
В = {сбит истребитель),
С = {ни один из самолетов не сбит).
Решение. Событие А распадается на два несовместных вариапта:
A=Ai +A11
где
Ai = {бомбардировщик сбит первым выстрелом
истребителя};
Аг = {бомбардировщик сбит вторым выстрелом
истребителя).
По правилу сложеиия P {A) « P (^1) + P (A2). По условиям задачи P(A1) 0,2. Найдем P(A2). Для того чтобы событие A2 произошло, нужно, во-первых, чтобы
3 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
66 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
второй выстрел истребителя состоялся (а для этого нужно, чтобы первым выстрелом бомбардировщик не был сбит и сам истребитель не был сбит ответным выстрелом бомбардировщика), и, во-вторых, чтобы вторым выстрелом истребитель сбил бомбардировщик.
P (A2) найдем по правилу умножения вероятностей, представив A1 как произведение трех зависимых событий:
