Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Р(В\А) = Р(В),
т. е. событие В не зависит от А, что и требовалось доказать.
54
ГЛ 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В связи с этим можно дать новое определение независимых событий:
Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
Пример 4. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет; рассматриваются события:
А = {появление герба на первой монете}, B = {появление герба на второй монете).
Из физических соображений ясно, что появление герба на одной из монет никак не влияет на вероятность появления герба на другой:
P (Л I B)-P (Л); Р(В\А) = Р(В). События Л и В независимы. >
Пример 5. В урне 2 белых шара и 3 черных; два лица вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются события:
Л = {появление белого шара у первого лица), В = {появление белого шара у второго лица), P (Л) = 2/5; P (Л I В) = 1/4;
события Л и В зависимы. >
Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает особенно простой вид:
P (AB) = P (Л) P (S)1 (2.3.6)
т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Из формулы (2.3.6) легко вывести следствие: если события A a B^ независимы^ то независимы также и события А и В, А и В, А и В. Докажем, например, что Л и В независимы (для остальных пар доказательство будет аналогичным).
Представим событие Л как сумму двух вариантов:
A= AB +AB. По правилу сложения:
P (Л) = P (AB) + P (AB),
2.3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
55
и
P(AB) - P (А) - P (AB) = P (А) - P (A)-P(B) =
- P(Л) [1-P(Я)] = P (Л).P (Я),
откуда видно, что события А и Л независимы.
Несколько событий A1, A21 Лп называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:
P (A1-A2..., .An) = P (A1)-Р (A2)..,. .P (An) (2.3.7) или, короче, пользуясь знаком произведения:
р(П^і)-ПРМі)« (2.3.8)
т. е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Заметим, что если имеется несколько событий Лз, A2, An, то их попарная независимость (т. е. независимость любых двух событий Ai и Aj с разными индексами) еще не означает их независимости в совокупности. Убедимся в этом па конкретном примере.
Пример 6. Пусть имеется ЭВМ, в которой информация хранится в виде нулей и едипиц; эту информацию время от времени приходится пересылать с одного места на другое. При пересылке, хотя и редко, возникают ошибки. Чтобы бороться с ними, поступают так: пересылают не по одному знаку 0 или 1 (биту), а сразу по три: X0, xt, х2. Из них хи X2-это те энаки, которые нас интересуют и которые мы должны переслать, a ^0 - добавочный 8нак, который служит целям контроля и автоматически создается машиной так, чтобы сумма X0 + + Xi + х2 была четной. После каждой пересылки сумма эта проверяется на четность; если опа оказывается нечетной, подается сигпал ошибки.
Предположим, что знаки хь х2, которые мы хотим переслать, припимают значение 0 пли 1 с вероятностью 1/2, причем независимо друг от друга. Рассмотрим события:
А, - {х0 - 0); A1 = Ix1 = 0}; A2 = {х2 = OK
56 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Найдем вероятности этих событий, их попарных произведений A0Ai, A0A2, AiA2, а также произведения всех трех: A0AiA2. По условию P (A1) = P (A2) = 1/2,: P(^1A2) - P(AJ-P(A2) - 1/4. Найдем P(A0). Событие Aq происходит, когда Z1 = Z2 = O или Xi = X2 = І, т. е. распадается на два варианта:
A0 = AxA2 + AxA2,
откуда P(A0) =
-P(A1AJ + P(A1A2) - (1/2).(1/2) + (1/2).(1/2) = 1/2.
Что же касается событий A0Ax, A0A2, A0A1A2, то это — одно и то же событие, совпадающее с A1A2: каждое из них происходит тогда и только тогда, когда X1=X2 = 0. Их вероятности:
P(A0A1) - P(A0AJ -P(A9A1AJ = 1/4.
Отсюда видно, что события A0 и At независимы, так как вероятность их произведения равна произведению вероятностей:
P (A0A1) = 1/4 - (1/2) • (1/2) - P (A0) P (A1).
Ясно, что по той же причине независимы и события A0 и A2. Следовательно, события Л0| Ah A2 попарно независимы.
Теперь посмотрим, независимы ли они в своей совокупности? Очевидно нет, так как вероятность их произведения не равна произведению вероятностей:
P (A0A1A2) - 1/4 Ф P (A0) P (A1) P (A2) = 1/8.
Таким образом, мы убедились, что попарная независимость событий еще не означает их независимости в совокупности.
Рассмотренный пример намеренно упрощен по сравнению с действительностью: в реальных ЭВМ биты пересылаются не тройками, а большими порциями («байтами»). >
В основе независимости событий лежит их физическая независимость, сводящаяся к тому, что множества случайных факторов, приводящих к тому или другому исходу опыта, не пересекаются (или почти не пересекаются). Например, если опыт состоит в том, что два лица в двух разных городах бросают по монете, то события А = {выпадение герба у первого лица) и В =
2.3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
