Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
3. Распределительное свойство:
А (В + С) = АВ + АС.
Операции прибавления пустого множества и умножения на пустое множество также аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество:
А + 0=А; А-0 = 0.
2.2. АКСИОМЫ TEOPPIII ВЕРОЯТНОСТЕЙ
41
Однако некоторые операции над множествами пе имеют аналогов в обычных операциях над числами; в частности для множеств
А+А=А\ A A=A.
Пользуясь вышеизложенными элементарными сведениями по теории множеств, дадим теоретико-множественную схему построения теории вероятностен и ее аксиоматику.
2.2. Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей
В этом пункте мы изложим теоретико-множественный подход к основным понятиям теории вероятностей и сформулируем ее аксиомы.
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент, испытание) со случайным исходом (см. п. 1.1). Рассмотрим множество Q всех возможных исходов опыта; каждый его элемент со ^ Q будем называть элементарным событием, а все множество Q — пространством элементарных событий. Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Q: A ? Q. Если множество А распадается на несколько непересекающихся подмножеств А = A1 + A2 + ... ... + A11 (Ai-Aj = 0 при і?=/), то будем называть события Ai, A2, An «вариантами» события А (на рис. 2.2.1 событие А распадается на три варианта: A1, A2, A3).
Примеры. 1) Опыт —бросание игральной кости; прост- Рпс. 2.2.1 ранство элементарных событий
O = (I1 2, 3, 4, 5, 6}. Каждое из указанных чисел очков — элементарное событие. Событие А = {выпадение четного числа очков) = {2, 4, 6); варианты события А: A1 = {2), A2 = {4); ^3 = {6}; A=A1 +A2 +A3.
2) Опыт — выстрел по мишени, представляющей собой круг радиуса г с центром в начале координат (рис. 2.2.2). Элементарное событие со — попадание в любую точку с координатами (х, у); пространство элемен-
42
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
тарных событий — вся плоскость хОу. Событие А = (по-падапие в мишень} = {хг + у1 < г) есть подмножество пространства Q: A s Q.
Варианты события A: A1 = {попадание в правую половину мишеип}; A2 = {попадание в левую половину}; A1 = ix2 + у2 < г2; X > 0); A2 = {х2 + у2^?; х< Oh
3) Опыт —приход поезда к определенной станции; в расписании стоит время прибытия I0. Фактически поезд может опоздать (прибытие eh) раньше t0 будем считать
Sl
Рис, 2.2.2
Рис. 2.2.3
практически невозможным). Событие А состоит в том, что поезд опоздает не более чем на т минут. Пространство элементарных событий — половипа числовой оси Of (рис. 2.2.3), лежащая правее точки (* — момент прибытия поезда).
Событие А — множество точек на числовой оси, отмеченное штриховкой на рис. 2.2.3:
А - U0^t^t0 + т); Лей.
Варианты события Л можно построить, если разделить участок от J0 до tQ + i на несколько непересекающихся участков, например, на два:
Л - {'о< '< 'о + if}; = [*0 + ±- <t < t0 + т);
A = A1 + A2. *
Среди событий, являющихся подмножествами множества Q, можно рассмотреть и самой (ведь каждое множество есть свое собственное подмножество); оно называется достоверным событием (см. определение достоверного события в п. 1.2). Ко всему пространству Q элементарных событий добавляется еще и иустое мпожество 0;
2.2. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
43
это множество тоже рассматривается как событие и называется невозможным событием (см. п. 1.2).
Заметим, что элементарные события со в одном и том же опыте можно задавать по-разному; например, при случайном бросании точки на плоскость положение точки можно задавать как парой декартовых координат (х, у), так и парой полярных (р, ср).
Дадим теоретико-множественное истолкование тем свойствам событий, которые мы рассматривали в п. 1.2.
Несколько событий Аи A2, An образуют полную
п
группу, если 2 ^i = O1 т. е. их сумма (объединение)
г-=1
есть достоверное событие.
Два события А, В называют несовместными, если соответствующие множества не пересекаются, т. е. AB = 0.
Несколько событий Ai, A2, ..., An называются попар-но несовместными (или просто несовместными), если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: AiAj = 0 (при і Ф]).
Так как события представляют собой множества, то для них точно так же определяются операции сложения (объединения) и умножения (пересечения), как и для множеств вообще, и сами операции обладают теми же свойствами. Ввиду важности этих операций над событиями дадим их определения:
Суммой двух событий А ж В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе (см. рис. 2.1.2).
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В (рис. 2.1.3).
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий. Рис. 2.2.4
