Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
A1-D-E-F9
где
D = {первым выстрелом истребителя бомбардировщик
не сбит);
E — {ответным выстрелом бомбардировщика истребитель
не сбит};
F — {вторым выстрелом истребителя бомбардировщик
сбит}.
По правилу умножения вероятностей для зависимых событий:
р (A2) - P (D) - P (E I D) - P (F J DE) -
_ (1 _ 0,2).(1 - 0,3)-0,4 - 0,224.
Применяя правило сложения, имеем:
P (A) - P (^1) + P (A2) - 0,2 + 0,224 - 0,424.
Теперь (это будет нам проще) найдем вероятность события С:
С — {пи один самолет не сбит} —
— {первым выстрелом истребителя бомбардировщик не сбит) • (ответным выстрелом бомбардировщика истребитель не сбит} • (вторым выстрелом истребителя бомбардировщик не сбит} — - (1 - 0,2) - (1 - 0,3) • (1 - 0,4) - 0,8 .0,7 • 0,6 - 0,336.
Итак, р(С)=-0А336. Так как события А, В, С несовместны и образуют полную группу,
p(A)+ p(B) + p(C)-i9
откуда
P (В) - 1 - [P (А) + p (С)] - 1 - 0,76 - 0,24. >
Пример 14, При одном цикле обзора радиолокационной станции объект обнаруживается с вероятностью
2.4. ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 67
р; при следующем цикле обзора он теряется с вероятностью г; если при следующем цикле обзора он не потерян, то слежение за объектом продолжается. Сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы с вероятностью не менее * установить устойчивое слежение за объектом?
Решение: Условия задачи сходны с условиями примера 10, с той разницей, что устойчивое слежение за объектом может быть установлено только за два последовательных цикла: в первом объект должен быть обнаружен, во втором — не потерян; вероятность этого равна р(1 —г). По формуле (2.4.1) получим число необходимых пар циклов:
п>Ig(I-*)/lg[i-р(1-г)]. >
В данном пункте нам неоднократно встречались задачи одного и того же типа, а именно, независимые опыты повторялись несколько раз и требовалось либо найти вероятность того, что какое-то событие А появится хотя бы один раз, либо найти число опытов п, достаточное для того, чтобы с заданной вероятностью Ф гарантировать появление события А. Подобные задачи часто встречаются на практике. Чтобы избежать каждый раз таких подробностей, как переход к противоположному событию, логарифмирование и т. п., решим здесь эти задачи в самом общем виде.
Задача 1. Производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с какой-то вероятностью; для і-то опыта эта вероятность равна Pi (іа1, 2, п). Задан ряд вероятностей:
Ply Рг, ..., Pn.
Найти вероятность Ri того, что событие А появится хотя бы один раз.
Решение. Переходя к противоположному событию !Я««{событие А не появится ни разу), применяя правило умножения для независимых событий и вычитая произведение из единицы, получим
A.-l-j(i-P.)(l-P.J...ll-M.
или, пользуясь знаком произведения П,
*1-1-Й (I-*«)- (2,4,2)
3*
68 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В частности, когда все вероятности Рі~ р одинаковы: A1-I-(I-P)». > (2.4.3)
Этими формулами мы в дальнейшем будем пользоваться в готовом виде, не выводя их для каждого частного случая.
Задача 2. Производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью & гарантировать хотя бы одно появление события А?
Решение. Рассуждая точно так же, как в примере 10, получим:
n>lg(l-niB(l-P). > (2.4.4)
Пример 15. По цели производится 5 независимых выстрелов; вероятности попадания соответственно равны:
P1- 0,1; р2-0,2; рь - 0,3; ^4 = 0,4; р.-0,5.
Найти вероятность Rx хотя бы одного попадания. Решение. По формуле (2.4.2) имеем:
^ = 1-0,9.0,8.0,7.0,6.0,5 = 0,8488. >
Пример 16. Прибор состоит из элементов, надежность каждого из которых равна р = 0,98. Выход из строя каждого из элементов равносилен выходу из строя , прибора в целом. Не больше какого числа л элементов 1 должно быть в приборе для того, чтобы надежность прибора не стала меньше, чем 0,9?
Решение. Рассмотрим п элементов как п независимых опытов, в каждом из которых событие А — (отказ) происходит с вероятностью 0,02. Подставляя в формулу (2.4.4) 0,02 вместо р и 0,1 вместо найдем то число элементов Я, при котором вероятность отказа хотя бы одного элемента станет не меньше 0,1; получим:
й ^ Ig 0,9/Ig 0,98 «5,20.
Переходя от п к числу элементов и, при котором не должна достигаться такая вероятность отказа, получим
п < 5,20,
т. е. число элементов не должно превосходить пяти. >
2.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
69
2.5. Формула полной вероятности
Следствием обоих основных правил теории вероятностей— правила сложения и правила умножения — является формула полной вероятности.
Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез):
H19 Я2, ..., Hn (HMi - 0 при і Ф /). (2.5.1)
Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторое событие. Вероятности гипотез известны и равны
p(H1Y9p(H2); ...;р(#„).
