Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривается некоторое событие A9 которое может появиться только вместе с одной из гипотез (2.5.1). Заданы условные вероятности события А при каждой из гипотез:
Р(А\НХ)9 Р(А\Н2)9 ...9Р(А\Нп).
Требуется найти вероятность события А. Для этого представим А как сумму п несовместных вариантов:
A = H1A + H2A+ ... + TInA= 2 H1A.
По правилу сложения вероятностей
p(A)=zp(H1A).
По правилу умножения
P(H1A)-P(Ht)-P[AlBt).
Откуда
P(A)-t P(HdP(A\Ht), (2.5.2)
т. е. безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.
Формула (2.5.2) называется формулой полной вероятности. Она применяется во всех случаях, когда опыт со
70
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
случайным исходом распадается на два этапа: в первом как бы «разыгрываются» условия опыта, во втором — его результат.
Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых шара и 3 черных, во второй — 4 белых и 1 черный, в третьей — 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым:
А = (появление белого шара}. Решение. Выдвигаем три гипотезы: H1 — {выбрапа первая урна}; 7/2 {выбрана вторая урна}; Ih = {выбрана третья урна}. Р(НХ) = Р(Н2) = Р(Н,) = 1/3. Р(А[Иг) = 2/5; Р(А[Н2) = А/5; Р(Л|#8)=1.
По формуле (2.5.2) P(A) - (1/3).(2/5) + (1/3).(4/5) + (1/3). 1 =*
- (1/3).(2/5 + 4/5 + 5/5) - (1/3).(11/5) - 11/15. >
Пример 2. Прибор может работать в трех режимах: 1) нормальном, 2) форсированном и 3) недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный — в 30% и недогруженный—в 10%. Надежность прибора (вероятность безотказной работы в течение заданного времени t) для нормального режима равна 0,8, для форсированного 0,5, для недогруженного 0,9. Найти полную (с учетом случайности условий) надежность прибора.
Решение. Гипотезы: /Z1 — нормальный режим, Нг — форсированный режим, H9 — недогруженный режим,
P (Я,) = 0,6; Р(Я2) = 0,3; P (Я,)-0,1.
А = {безотказная работа прибора}. Р(Л|Я1) = 0,8; P(A[H2) = 0,5; P (Л | Я,) - 0а9.
По формуле (2.5.2)
P(A) = 0,6-0,8 + 0,3-0,5 + 0,1-0,9 = 0,72. >
Пример 3. Имеется две партии однородных изделий; первая состоит из N изделий, среди которых п де-
2.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
71
фектных; вторая —из M изделий, среди которых т дефектных. Из первой партии берут случайным образом к изделий, из второй I изделий (k<N\ KM) и смешивают между собой. Из полученной партии к +1 изделий берут наугад одно. Найти вероятность того, что взятое изделие будет дефектным.
Решение. A = {взятое изделие дефектно).
Гипотезы:
H1 = {изделие принадлежит первой партии}, H2 = {изделие принадлежит второй партии}, P (H1) - к/(к + I); P (H2) - l/(k + I). Условные вероятности события А:
P(A]H1)^nIN; P(A[H2) = т/М. По формуле (2.5.2) P (А) - [kf(k + I)] .(n/N) + [I/(к + I)HmIM). >
Пример 4. Завод изготовляет изделия, каждое из которых независимо от других с вероятностью р имеет дефект. В цехе имеется три контролера; изделие осматривается только одним из них (с одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим). Вероятность обнаружения дефекта, если он имеется, для 1-го, 2-го и 3-го контролеров равпа соответственно pXl p2l р*. При обнаружении дефекта изделие бракуется. Если изделие не было забраковано в цехе, то оно отправляется на OTK завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0; изделие, дефект которого обнаружен, бракуется. Найти вероятность того, что изделие будет забраковано.
Решение. Событие Л = {изделие будет забраковано}. Здесь удобно перейти к противоположному событию
A = {изделие не будет забраковано}.
Представим событие A как сумму двух несовместных вариантов:
A e At + Аг%
где
Ai ¦¦{изделие не имеет дефекта),
A2 = {изделие имеет дефект, но он не обнаружен
ни в цехе, ни в OTK завода}.
ри»)-1-р.
72
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Найдем P(A2). Для этого надо умножить вероятность того, что изделие имеет дефект, на вероятность того, что этот дефект не будет обнаружен ни в цехе, ни в ОТК. Вероятность того, что имеющийся дефект не будет обнаружен в цехе, по формуле полной вероятности равна (1/3)[(1 — Pi) +(1 — Pz) +(1 — Ps)]- Вероятность того, что имеющийся дефект после цехового осмотра не будет обнаружен в ОТК, равна 1 — р0. По правилу умножения:
P (A2) - р [1 - (1/3) (P1 + р2 + P3)] • (1 - р0);
P(^-P(^)+P(^-l-p+^
р(4) = 1-р(Л). >
Пример 5. Цех завода производит определенного вида изделия; любое из них, независимо от других, с вероятностью р имеет дефект. Каждое изделие осматривается контролером, который обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью Pi и не обнаруживает с вероятностью 1 — Pt. Изделие с обнаруженным дефектом бракуется. Кроме того, иногда контролер допускает ошибку и бракует доброкачественное изделие; это происходит с вероятностью р2. За смену контролер осматривает N изделий. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них будет квалифицировано им неправильно: или, будучи дефектным, отнесено к доброкачественным, или наоборот (считается, что результаты осмотров отдельных изделий независимы).
