Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Это представление р-адических чисел с помощью последовательностей классов вычетов мы и имели в виду выше, когда говорили об удобном представлении. Чтобы перейти от представления некоторого р-адического числа а классами вычетов к обычному представлению фундаментальной последовательностью, нужно лишь из каждого класса 9?*, выбрать произвольный элемент г%\ тогда а = lim г'%. Можно также представить а в виде бесконечной суммы, положив
Л = s0, ri+I — ri = skp\
и тогда
г'х+ 1 = so + slP + s2 р2 + ? • • + sxPk I
так что
К со
a = lim 2] Sv/>v = 2] svp\ (1)
>.-+00 V = 0 V =0
При этом Su s2, ... — рациональные числа, знаменатели которых не делятся на р.
р-адический предел последовательности обычных целых чисел называется целым р-адическим числом. Для классов вычетов 9?0, 3flj, ... это означает, что в каждом из них имеется некоторое целое число. В частности, для целого р-адического числа класс является нулевым классом вычетов ?D?0 — совокупностью рациональных чисел со знаменателями, не кратными числу р. Это условие является и достаточным для того, чтобы число было целым: если 9?0 — нулевой класс вычетов по модулю ?0?о, то все классы вычетов 91ц :)i2, ... содержат целые числа. Действительно, 9?^ содержится в 910 и поэтому состоит из таких чисел r/s, для которых s^?O (mod р). Если мы решим теперь сравнение
sx = г (mod рх),
то получится
х ~ 7 = ^~Г~ —0 (mod
так что число х принадлежит классу вычетов Щ .
Поэтому в представлении рядом (1), когда а —целое р-ади-ческое число, можно все г[, а потому и все sv выбрать среди обычных целых чисел. Таким образом, (1) является степенным рядом по р с целочисленными коэффициентами. Каждый такой степенной ряд сходится в смысле р-адического нормирования и представляет некоторое целое р-адическое число.
§ 142]
Пополнения
519
Каждое р-адическое число а, представляемое классами вычетов {9?0, 9?!, ..можно превратить в целое р-адическое число умножением на некоторую степень р. Действительно, если То — элемент из класса вычетов 910, то с помощью умножения этого элемента на некоторую степень рт можно добиться того, чтобы знаменатель числа ртг'а не содержал множителя р и тем самым Гд оказался переведенным в нулевой класс вычетов по модулю 9Л0. Если теперь разложить целое р-адическое число рта в степенной ряд (1) с целыми 50, в!, ..., то для а получится представление с конечным числом отрицательных степеней
—а тР~т + й-т+1р т+1 + ... + а0 + а1р + й3р2 + ... (2)
Представление (1) целого р-адического числа а можно канонизировать, беря всюду в качестве г’х наименьший неотрицательный целочисленный представитель класса вычетов Тогда все числа
удовлетворяют условию О^я^ср. Если опять перейти от (1) к (2), то получится однозначно определенное разложение (2) произвольно заданного целого р-адического числа, в котором 0^ау<р.
На основе р-адического нормирования поля Н, которое в соответствии со способом, описанным в § 141, задается простым идеалом р некоторого целостного кольца о, получается полное р-адическое поле Йр — обобщение гензелева р-адического поля. Например, если р —идеал {х — с) в кольце многочленов Л [х], то —это кольцо всех степенных рядов
с = а-т (х - с)-т +... 4- а0 + а1 (х - с) + а2 (х - с)2 +... (3)
с коэффициентами ау из Д. Эти степенные ряды сходятся в смысле р-адического нормирования всегда, как бы ни выбирались коэффициенты Оу. Выражения (3) называют формальными степенными рядами по (х — с).
Задача 1. Записать —1 и 1/2 с помощью канонических 3-адических степенных рядов.
Задача 2. Уравнение /© = 0, где /—целочисленный многочлен, разрешимо в поле Ор тогда и только тогда, когда для каждого натурального п сравнение
/ (|) == 0 (тех! рп)
обладает рациональным решением ?.
Задача 3. Разрешимы ли в поле ?23 уравнения
х2 = — 1, х» = 3, х2 = 7?
Может оказаться, что два различных нормирования ф и ф некоторого поля К приводят к одному и тому же пополнению й. Очевидно, этот случай имеет место тогда и только тогда, когда каждая последовательность [ау] из К, являющаяся нуль-последовательностью относительно ф, является нуль-последовательностью
520
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
и относительно ф, и наоборот. В таком случае, т. е. при условии равносильности равенств limcp(av) = 0 и lim ф (av) = 0, мы бу-
V—»-00 V —»СО
дем называть нормирования ср и ф эквивалентными.
Для нормирования ц>(а) = \а\ поля комплексных чисел (обычное абсолютное значение) можно построить бесконечно много эквивалентных нормирований, положив ф(а) = |а|р, где р —фиксированное положительное число, не превосходящее 1. Условия 1) —3) выполняются здесь тривиально. Условие 4) следует из того, что \a-\-b\s^\a\-\-\b\, если воспользоваться неравенством ер + 0р 5= (e-f- б)р, которое выполняется для любых двух вещественных чисел e5=0, 0 5=0 и числа Ocp^sl1).
Для р-адического нормирования срр (а) поля рациональных чисел эквивалентным является каждое нормирование ф (а) = срр (а)°, где о — произвольно фиксированное положительное число.
Пусть ф и ф — нормирования поля К. Покажем что следующие три утверждения равносильны:
