Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
((х) == gv (х) (х) (тоб яг+1), (3)
ёу (*)=&> М(тобя), (4)
Ну (х) == Н0 (х) (тоб я) (5)
и, кроме того, ^ (х) = хГ + ... —многочлен со старшим коэффициентом 1. Для того чтобы определить ^ц(х) и Ну ! (х), представим
526
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
их в виде
gv+1 М = gv {х) + Я'+1« (х), (6)
/zvfl (x) = hv{x) + nx+1v(x). (7)
Тогда
gv+i (X) ftv+l {x) -f(x)= gv (x) К (x) -f(x) +
+ ^v+1 {g\, (x) v (x) -f hy (x) и (x)} + я2'+2м (л:) v (л:).
Положим в соответствии с (3)
f W - gv (х) К (х) = яv+1p (х);
тогда
gv+i {х) hy+1 (х) -f(x) =
= я^1 (gv (*) у W + hy (х) и (х) — р (х)} (mod я'и2).
При этом левая часть будет делиться на я',+2, если будет
gv (х) v (х) + hy (х) и (х) == р (х) (mod я). (8)
Чтобы добиться этого, умножим сравнение (2) на р(х):
Р (х) I (х) go (х) + р (х) т (х) h0 (х) == р (х) (mod я); (9)
разделим р (х) т (х) на g0 (х), так что остаток и (х) будет иметь степень < г:
р (х) m(x) = q (х) g0 (х) + и (х). (Ю)
Подставим (10) в (9):
\р (х) I (х) + q (х) h0 (х)} go (х) + и (х) h0 (х) ^ р (х) (mod я).
Заменим в многочлене, заключенном в фигурные скобки, все коэффициенты, делящиеся на я, нулем; тогда получим
v (х)g0 (х) + и М К (х) = р (х) (mod я). (И)
В силу (4) и (5) из (11) следует нужное сравнение (8). Далее и (х) имеет степень < г, так что gv+1 (х) в силу (6) имеет ту же степень и тот же старший коэффициент, что и gv (х). Остается лишь показать, что v (х) имеет степень sСп — г. Если бы это было не так, то в первом слагаемом в (11) старший член имел бы степень >п, а степени остальных были бы другими. Коэффициент при этом члене должен в соответствии с (11) делиться
на я, а потому старший коэффициент в v (х) оказывается крат-
ным элементу я. Но так как мы удалили из v (х) все коэффициенты, делящиеся на я, то степень v (х) оказывается ==? п — г. Из сравнения (8) следует, как мы видели выше, что
f (х) = gv+i (*) hy+1 (х) (mod я'+2). (12)
Из (6) следует, ЧТО коэффициенты многочлена gv ц (х) — gv (х) делятся на я'4'1, а потому при v-voo стремятся к нулю. Отсюда
§ 144] СЛУЧАИ ПОЛНОГО ПОЛЯ 527
в силу критерия сходимости Коши следует, что gv{x) при V-VCO сходятся к многочлену
?(*)=*'• + ...
Равным образом при v->oo и последовательность hv (х) сходится к некоторому многочлену h(x). Наконец, переходя в (3) к пределу, получим
/ (х) = g (х) h (х).
В силу (4) и (5) выполняются и сравнения g(x)=go(x) (mod р), h (x) = h0 (х) (mod р).
Лемма доказана.
Вот одно простое следствие:
Для неразложимого над К многочлена
f (х) = й0 + ахх +... + апхп имеет место соотношение
min (w (fl0), w (aj), ..., w (an)) = min (w (a0), w(an)).
Для доказательства мы можем предположить, что / (х) — примитивный многочлен. В этом случае минимум слева равен нулю. Предположим, что w (а0) и w(an) больше нуля; тогда существовало бы натуральное число г, 0<r<in, для которого w(ar) = О, но w(av)> 0 при v = r+l, ..., п. Но тогда
/ (х) == (а0 + агх +... + агхг) • 1 (mod р), 0 </-<«,
и, следовательно, многочлен f (х) в силу леммы Гензеля разложим на два множителя, степень одного из которых г, а другого п — г.
Задача 1. Если многочлен f (х) = хп + ап_1хп~1 +... + а0 имеет целые коэффициенты из К и неразложим по модулю р, то / (х) неразложим и в пополнении QK.
Задача 2. Если в многочлене f {х) = хп-\-ап_ххп~1-\-...-\-ац все коэффициенты a„_j, ..., ?o делятся на р и а0 не является произведением двух элементов из р, то / (х) неразложим (обобщение признака неразложимости Эйзенштейна).
Задача 3. Исследовать разложение рациональных неразложимых многочленов
х2+1. х2 + 2, х2 —3 в поле 3-адических чисел. (Использовать задачу I, лемму Гензеля и задачу 2.)
Важнейшее применение последней теоремы состоит в доказательстве возможности продолжения нормирования с полного поля на алгебраическое расширение.
Пусть К — поле, полное относительно показательного нормирования w, А — алгебраическое расширение поля К. Тогда существует показательное нормирование W на А, которое совпадает с w на И.
528 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ XVIII
Доказательство. 1. Пусть ? —произвольный элемент из А и
1п + а-п-11"-1 + ... + а0 = 0
— неразложимое уравнение для ? с коэффициентами из К. Мы утверждаем, что
W(l)=~w(a0)
— нормирование поля А (которое, очевидно, на К совпадает с w). Для того чтобы доказать для произвольных двух элементов |, г] из А соотношения
W т = Г (?) + W (л),
W? + r])^mm(W?), W(ri)),
рассмотрим подполе А0=К(?, л), имеющее некоторую конечную степень t над К, и построим в этом поле норму элемента |. Согласно § 47 имеем
м©=(-1)ч. г =4,
и, следовательно,
w (N (?)) = w (aj) = rw(ao),
W{l)=\w{aa)=\w{N (І)).
Так как N (?,r\) = N ©А (л), то отсюда получаем
W{l4) = W{l) + W (л).
При доказательстве соотношения W (? + л) min (W (5), W (л)) в силу того, что
Г(? + л) = Г(л) + №(1+1)
и
min (Г®, Г(л)) = №(л) + тіп(г (і), О),
мы можем ограничиться случаем л = 1 •
Неразложимое уравнение для | + 1 таково:
(5 + 1 )П + • • • + (а0 ~~ а1 + °2 ~ ? • • + (- 1 )п~1 ап -1 + (— 1)") = 0.
В силу предыдущей теоремы имеем № (?+1) = ±щ(а0-а1 + ...)5=
