Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3 имеет место и для дробных идеалов аЬ~г, но в этом случае нужно рассматривать и отрицательные степени
Г* = (Г1)*-
Действительно, если
а ... ра/ и (Ь) ~ ^ ... рьгг,
то
аЬ-^р?-** ... ра/~\ (3)
и показатели а* —определены однозначно.
Чтобы выяснить отношение построенной сейчас теории к общей теории идеалов и к конкретной теории идеалов, развитой в § 137, мы должны выяснить, какие же простые идеалы являются неразложимыми и какие идеалы квазиравны единичному идеалу о.
Мы уже видели, что для неразложимого идеала р идеал р* является простым. Докажем теперь следующее утверждение:
18. Любое ненулевое собственное кратное такого идеала р* не является простым.
Действительно, если а —такое кратное, то а^р*; в силу 12 в этом случае ас = р*Ь, где с^о. Так как в разложении идеала Ь каждый простой множитель участвует меньшее число раз, чем в а, то 1>^Ё0(а); точно так же р*=?0(а), но р*Ь==0(а). Следовательно, идеал а не является простым.
Рассмотрим разложение произвольного простого идеала р. Либо р ~ о, либо в разложении р рхр2 ... р, участвует некоторый неразложимый множитель рх. Тогда рЭНТ и, следовательно, р Е р*; но так как собственное кратное идеала р* не может быть простым идеалом, то должно иметь место равенство р = р*. Следовательно,
р* = (р*)*=р* = р,
а потому имеет место
19. Каждый простой идеал р либо квазиравен о, либо неразложим и равен соответствующему р*.
506
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1ГЛ. XVII
Во втором случае идеал у имеет ненулевых собственных кратных, являющихся простыми идеалами. Напротив, в первом случае, как сейчас будет показано, такое кратное всегда существует:
20. Если у~р, то существует неразложимый простой идеал у*, являющийся собственным кратным идеала у. Действительно, если р Ф 0 — произвольный элемент ИЗ У И (р)~У хУ2 ... Уг~У*Р* ••• ... у? — его разложение, то из 2 следует, что у*у? ... у* = 0 (р) = = 0(у), откуда у* = 0(у) при некотором V. Но вместе с тем у* =й= У» так как иначе выполнялось бы соотношение у* ~ с.
Если мы назовем простой идеал, не имеющий никакого простого собственного кратного, отличного от нулевого идеала, высоким, а простой идеал, обладающий таким кратным, напротив, низким, то свойства 18, 19 и 20 можно объединить в следующей теореме:
Теорема 4. Каждый высокий простой идеал у неразложим и равен своему у*; каждый низкий простой идеал квази-равен о.
Идеал, не принадлежащий единичному классу, согласно теореме 3 о разложении, делится по крайней мере на один высокий простой идеал у = у*. Но любой идеал из единичного класса не делится ни на какой высокий простой идеал. Тем самым единичный класс получает характеристику исключительно в терминах теории идеалов (т. е. без обращения к нецелым идеалам).
В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый ненулевой простой идеал делится только на себя и на с; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так как каждый идеал а=?о делится на некоторый простой идеал, не равный о (доказательство: найдем среди делителей идеала а, не равных о, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазиравным р. Тем самым единичный класс состоит из одного лишь единичного идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 —что равносильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной здесь теории.
Теперь легко установить связи и с общей теорией идеалов, изложенной в пятнадцатой главе. Прежде всего, легко видеть, что каждый примарный идеал, у которого соответствующий простой идеал является низким, должен быть квазиравен идеалу р. Назовем эти примарные идеалы низкими, а остальные — высокими примарными идеалами. Идеал а тогда и только тогда квазиравен идеалу и, когда все его примарные компоненты являются низкими. Если у идеалов а и Ь высокие примарные компоненты одинаковые (а низкие могут быть и различными),
§ 140]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
507
то эти идеалы квазиравны. Среди идеалов, квазиравных данному идеалу а, существует наибольший в смысле включения идеал а*; он получается отбрасыванием всех низких примарных компонент из разложения а = [qlt ... , qr]. Теоремы о разложении и единственности из этого параграфа можно интерпретировать так, что при этом все низкие примарные компоненты последовательно опускаются, а принимаются во внимание лишь высокие. Каждый из высоких примарных идеалов делится только на один высокий простой идеал и, следовательно, при разложении, в соответствии с теоремой 2, он оказывается равным некоторой степени простого идеала; иными словами, каждый высокий примарный идеал квази-равен степени простого идеала.
Обратно, каждая степень высокого простого идеала квази-равна некоторому высокому примарному идеалу. Действительно, если а = Ц — степень высокого простого идеала, то а не может делиться больше ни на какой другой высокий простой идеал (а только на р); следовательно, в разложении
я = У = [Д <?/•]
участвует только один высокий примарный идеал. Если им является, скажем, щ, то а*=(]1; следовательно, идеал а = ]У квазиравен примарному идеалу
