Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Каждое вложение поля А в поле 2 определяет некоторое нормирование на А. Действительно, подполе А' в 2 автоматически оказывается нормированным, а с помощью изоморфизма сг1 нормирование с А' переносится па А. Очевидно, что полученное
532
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
таким образом нормирование Ф на Л продолжает нормирование Ф на К.
Мы утверждаем далее следующее:
Каждое нормирование Ф поля Л, продолжающее нормирование ф поля К, может быть получено описанным способом при вложении Л в 2.
Доказательство. Построим пополнение поля Л. Оно содержит пополнение ?2 поля К, а также элемент 6; следовательно, оно содержит поле ?2(6). Это последнее можно расширить до поля разложения многочлена F, которое будет изоморфно полю разложения 2. Изоморфизм переводит Ф(6) в некоторое подполе ?2 (0') в 2, оставляя элементы из ?2 на месте и при этом переводя нормирование поля ?2 (6) в однозначно определенное нормирование поля ?2 (6').
Ограничение случаем простых расширений несущественно для доказательства. Если вместо элемента 0 рассматривать конечное множество алгебраических элементов ..., ?г, присоединяемых к основному полю и являющихся корнями многочленов g1; . . . , gr из К [?], то в качестве 2 нужно взять поле разложения произведения gi(/)- ... • gr{t) и проводить рассуждения так же, как это было сделано выше. Если Л — бесконечное алгебраическое расширение поля К, то в качестве 2 берется алгебраически замкнутое расширение поля ?2. Доказательство остается прежним.
Вернемся теперь к случаю простого расширения и разложим определяющий многочлен F (t) из ?2 [/] на неразложимые множители:
Е(0 = /ч(0ЗД ••• ^(0- 0)
Каждый изоморфизм а поля К (8) переводит 6 в некоторый корень какого-то из множителей Fv (/). Каждому Fv (/) соответствует некоторое расширение ?2 (8V), где 0V —произвольный корень многочлена Fv(i): какой именно, не важно, потому что все корни неразложимого многочлена сопряжены.
Если изоморфизм а переводит элемент 6 в элемент 0V, а элементы из К оставляет на месте, то каждый многочлен g(6) переводится им в многочлен g(0v), чем упомянутый изоморфизм и определяется. Следовательно, всевозможные вложения поля Л = = К (0) в 2 определяются заданием соответствия
0 0V (v = 1, ... , s).
Но этим же задаются и нормирования: если задано значение Ф произвольного элемента r] = g(8), то нужно взять v-й сопряженный элемент r]v=g(0v) и вычислить его значение в соответствии с § 144:
ф (л) = ?У (n Ы), (2)
где nv — степень многочлена /\., а JV —норма в поле ?2 (6v).
§ 1461 НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Таким образом, существует столько же продолжений нормирования ф, сколько неразложимых множителей у многочлена F (t) из й [(].
§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел
Общая теория предыдущего параграфа очень хорошо иллюстрируется на примере поля алгебраических чисел.
Пусть Л = (EJ (0) — поле алгебраических чисел, т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных чисел Q, порожденное примитивным элементом 0. Пусть F(х) — приведенный неразложимый многочлен с корнем б.
Основное поле (С! обладает единственным с точностью до эквивалентности архимедовым нормированием ф (а) = | а | и для каждого р единственным с точностью до эквивалентности неархимедовым нормированием, а именно, р-адическим нормированием:
Ф р(а) = р~т,
где т — показатель степени числа р в разложении рационального числа а на простые множители.
Архимедову нормированию в качестве пополнения основного поля соответствует поле вещественных чисел R. Если еще присоединить число i, то поле окажется алгебраически замкнутым, и F (х) разложится на линейные множители:
F (х) = (х - (х - 62) ... (х-б„).
Чтобы получить разложение с вещественными коэффициентами, мы должны объединить каждые два комплексно сопряженных сомножителя в один вещественный квадратичный многочлен:
(х — а — bi) (х — a -f- bi) = (х — а)2 + Ь2.
Если гх — число вещественных корней, а г2 —число пар сопряженных комплексных корней, то F (х) распадается на г1-\-г2 вещественных неразложимых множителей.
Каждому такому множителю соответствует некоторое нормирование поля Л, получающееся, когда Л вкладывается в поле вещественных или комплексных чисел с помощью изоморфизма, переводящего 9 в вещественный или комплексный корень 0V, причем из двух комплексно сопряженных корней всякий раз выбирается лишь один. Этот изоморфизм переводит каждую функцию от 8
r] = g(0)=c,, + ?i9-f- ••• +сп-iSn_1 в такую же функцию от 0V:
% = §(®v) — со + СА + ••• Л~сп А
534
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Соответствующее архимедово нормирование на А выглядит так:
Ф Сп) = | t)v |.
Все г1-\-г2 архимедовых нормирований элемента ц получаются, когда в последнем равенстве последовательно берутся вещественные и комплексные элементы сопряженные с т), причем в случае двух комплексно сопряженных чисел выбирается произвольно только одно.
ri + r2 архимедовых нормирований поля алгебраических чисел тесно связаны с природой обратимых элементов этого поля. См. ван дер Варден (van der Waerden В. L.). — Abh. math. Sem. Univ. Hamburg, 1928, 6, S. 259.
