Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть, скажем, ф(а)>ф(Ь). Мы должны доказать, что
Ф (a фЬ) = ф (а).
Предположим противное:
ф(а + 6)<ф(а);
тогда и ц>{афЬ) и ф(—b) = cp(b) меньше ф(а). Это противоречит неравенству
Ф (а) ^ тах (ф (афЬ), ф(—b)).
Часто бывает целесообразно (и в литературе это принято) использовать иной способ задания неархимедовых нормирований. Вместо вещественных значений ф (а) рассматривают показатели w(a) = —^ф(а). Определяющие соотношения для нормирования в терминах показателей выглядят так:
1) w(a) для аф 0 является вещественным числом;
514
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
2) да (0) —символ oj;
3) да (ab) = да (а) + да (Ь);
4) да (а -\-Ь) 5= min (да (а), да(&)).
В этом случае говорят о показательном нормировании. Переход к показателям возможен благодаря тому, что ввиду усиленного неравенства 4') не нужно складывать значения ф (а). Логарифмическое отображение обращает упорядочение и превращает умножение в сложение.
Пример. Пусть элементы поля К — мероморфные функции в некоторой области г-плоскости или, более общо, на некоторой римановой поверхности. Фиксируем произвольно точку Р на ри-мановой поверхности и определим: да (а) для функции а равно а, если эта функция в точке Р обладает нулем а-го порядка; да (а) равно нулю, если рассматриваемая функция принимает в данной точке ненулевое значение; если же в данной точке функция имеет полюс порядка а, то значение да (а) берется равным — а. Легко видеть, что свойства 1)—4) выполнены. Таким способом каждой точке Р ставится в соответствие нормирование поля К. Этот пример иллюстрирует значение теории нормирований для теории алгебраических функций одной комплексной переменной.
Среди показательных нормирований различают дискретные и недискретные\ первые характеризуются тем, что для каждого из них существует наименьшее положительное да (а), которому кратны все остальные значения да (а) (см. предыдущий пример), а вторые — тем, что значения да (а) могут быть как угодно близки к нулю. Так как целые кратные произвольного значения да (а) вновь являются значениями нормирования: nw(a) = w(an), в недискретном случае значения да (а) лежат в множестве вещественных чисел всюду плотно.
р-адическое нормирование рациональных чисел является дискретным; таковы вообще все р-адические нормирования.
В показательно нормированном поле К элементы а со свойством да (а) 0 образуют некоторое кольцо 3, потому что из да (а) ^
^ 0 и да (Ь) ^0 следует да (а± b) ^ min (да (а), да (b)) ^0 и да (ab) = — да (а) + да (Ь) ^ 0. Совокупность р всех элементов а из К, для которых да (а) > 0, является простым идеалом в 3- Действительно, прежде всего, опять-таки из да (а) >0, да (Ь) > 0 следует да (а ± Ь) ^ 2з min {да (й), да(6)}>0; следовательно, р — некоторый модуль
Далее, из аё р, т. е. да (а) > 0, и да (с) ^ 0 следует да (са) = = да (с) + да (а) > 0, так что р — идеал. Наконец из ab = 0 (р), т. е. того, что да (ab) = да (а) + да (Ь) > 0, следует, что по крайней мере одно из двух чисел да (а) и да (Ь) положительно, т. е. по крайней мере один из элементов а и b делится на р; поэтому идеал р простой.
Кольцо 3 называется кольцом нормирования да. Элементы из 3 называются целыми (относительно нормирования). Говорят, что
§ 142]
ПОПОЛНЕНИЯ
615
элемент а делится на Ь (относительно нормирования и)), если а/Ь — целый элемент, т. е. если Ы1(а)^1ю (Ь).
Элементы а, для которых пи (а) —0, являются обратимыми в кольце 3. Так как все элементы из 3, не принадлежащие идеалу р, обратимы, то идеал р не имеет делителей в 3. Тем самым, кольцо классов вычетов 3/Р является полем — полем классов вычетов нормирования. Если поле К имеет характеристику р, то, очевидно, и поле классов вычетов имеет характеристику р. Но если К имеет характеристику нуль, то поле классов вычетов может иметь либо нулевую характеристику (случай равных характеристик), либо ненулевую характеристику (случай разных характеристик). Типичные примеры случая разных характеристик доставляют /7-адические нормирования. Случай равных характеристик получается, например, тогда, когда рассматривается поле рациональных функций от одной переменной и показательное нормирование определяется тем, что его значением на произвольно взятой рациональной функции является разность между степенями знаменателя и числителя, р-адические нормирования, которые получаются с помощью идеалов в кольцах многочленов К[Х!, ..., Хя], также дают случай равных характеристик.
По поводу дальнейшего развития описанных конструкций вплоть до полной классификации нормирований см. работы Хассе, Шмидта, Тейхмюллера и Витта1). По поводу обобщений понятия нормирования см. работы Малера и Крулля2).
Задача 3. Показать, что в кольце А каждый идеал является либо множеством всех а, для которых ш (а) > 6, либо множеством всех а, для которых (а) 5= б, где б — некоторое неотрицательное вещественное число. При любом дискретном нормировании можно ограничиться лишь случаем 3?, беря, если нужно, б, которое не входит в множество значений нормирования. В случае недискретного нормирования число б однозначно определяется идеалом.
