Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 4. В случае дискретного нормирования все идеалы кольца 3 являются степенями идеала р; в случае же недискретного нормирования, напротив, все степени идеала р равны р.
§ 142. Пополнения
Для произвольного нормированного поля К можно, в соответствии с § 78, построить нормированное расширение в котором имеет место критерий сходимости Коши. При этом мы по-прежнему будем предполагать, что значения ф (а) являются
1) Witt E. — J. reine und angew. Math., 1936, 176, S. 126—140. См. также литературу к этой работе.
2) Mahler К- ?ber Pseudobewertungen. I. — Acta Math., 1936, 66, S. 79—199; la.—Akad. Wetensch. Amsterdam Proc., 1936, 39; II. — Acta Math., 1936, 67, S. 51—80; Krull W- Allgemeine Bewertungstheorie, —J, reine und angew, Math., 1932. 167, S. 160—196,
516
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
вещественными числами. Определим в К фундаментальные последовательности как последовательности, обладающие следующим свойством:
Ф(ар — а?)<е для р>л(е), ф>п(е),
где е — произвольное положительное число из Р. Из кольца фундаментальных последовательностей получается поле классов вычетов точно так же, как в § 78; все доказательства переносятся на этот случай дословно. Единственная разница состоит в том, что Йц, как и само поле К, является не упорядоченным, а всего лишь нормированным. Нормирование на Пц определяется так: если а определяется фундаментальной последовательностью {аД, то на основании уже доказанного неравенства
IФ Ю - ф (%) I < ф («V - Оц)
значения ф (а„) составляют также фундаментальную последовательность, которая, следовательно, должна в поле вещественных чисел обладать некоторым пределом со. Положим
Ф (а) = со.
Все фундаментальные последовательности с одним и тем же пределом а определяют одно и то же значение ф (а), и эта конструкция удовлетворяет требованиям 1) —4).
Поле Пк является полным относительно нормирования ф, которое только что было определено, т. е. оно удовлетворяет критерию сходимости Коши:
Каждая фундаментальная последовательность в Пк имеет в ?2к некоторый предел.
Мы назвали последовательность {аД фундаментальной, если для каждого е>0 из поля значений нормирования существует такое п, что
Ф (ар — ад)<е для р>п, <?>«.
В случае неархимедова нормирования достаточно вместо этого условия потребовать следующее:
ф (Яу+1 — av) < 8 ДЛЯ У>п(е).
Действительно, ар — ая — это сумма | р — с? слагаемых сгу+1 — су»
и если все они имеют значение, меньшее е, то в силу (1) из
§ 141 значение суммы также меньше г.
Итак:
В каждом поле, полном относительно неархимедова нормирования, любая последовательность {ау} обладает пределом, если только разности ау+1 — ау составляют нуль-последовательность.
Этот критерий можно высказать и так: для сходимости бес-
§ 142]
ПОПОЛНЕНИЯ
517
конечного ряда ах + аъ + а3 +... необходимо и достаточно, чтобы limav = 0.
Если поле (Q рациональных чисел нормировать обычным образом с помощью абсолютной величины ф (а) — \ a J, то в качестве полного расширения получится, конечно, поле вещественных чисел. Если же исходить из р-адического нормирования на (Q, то в качестве пополнения получится поле Qp р-адиче-ских чисел Гензеля.
Поля Й2> Qa, ^5> ^7, ^li. • • •. таким образом, совершенно равнонравны с полем вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел (и для арифметики являются столь же важными).
Элементы поля т. е. р-адические числа, могут быть представлены в более удобной, чем фундаментальная последовательность, форме. Действительно, рассмотрим, для X = 0, 1,2, ... модуль Яил, состоящий из рациональных чисел, числитель которых делится на р\ а знаменатель не делится на р; для таких чисел, следовательно, ф (а) р \ Назовем два рациональных числа сравнимыми mod р\ если их разность принадлежит Я)Д. Если теперь {гД — некоторая р-адическая фундаментальная последовательность рациональных чисел, то для каждого X, начиная с некоторого п = п (X), имеем
Ф (Д — гу) < Р~х при р>п{Х), v>n(X),
т. е.
Д = ^ (mod рх).
Все числа Гц с \а> п(Х) принадлежат, таким образом, однозначно определенному классу вычетов 2Д по модулю Э1Д. Поэтому фундаментальная последовательность (гД определяет некоторую последовательность классов вычетов
Э10 із =э Ш2 =э з 3R4 =э ...,
вложенных друг в друга указанным способом. Обратно, каждая последовательность {гъ г2, ... }, которая указанным способом определяет последовательность {31Д вложенных друг в друга классов вычетов Шх по модулю Шк, так что
для р>п(Х),
является фундаментальной.
В частности, если {гД — нуль-последовательность, то ЗД=ЗЛд,— нулевой класс вычетов. При сложении фундаментальных последовательностей {гД + {яД = {гй + вД складываются и соответствующие последовательности классов вычетов: {ЗД + @Д. В частности, прибавим к некоторой фундаментальной последовательности нуль-последовательность; тогда соответствующая последовательность
518
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
классов вычетов не изменится. Обратно, если две последовательности {гм} и {s(l} соответствуют одной и той же последовательности классов вычетов {91Д, то их разность — нуль-последовательность. Итак: каждому р-адическому числу a = limrv взаимно однозначно соответствует некоторая последовательность классов вычетов {91Д описанного вида.
