Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1. Ф и ф эквивалентны;
2. из ф (а) < 1 следует, что ф (а) < 1 ;
3. ф является некоторой степенью нормирования ф, т. е. ф(а) = ф(а)е для всех а при фиксированном е5>0.
Пусть сначала выполнено 1; докажем 2. Из ф(а)<1 следует, что а'1 стремится к нулю в смысле нормирования ф. Но тогда ап должно стремиться к нулю и в смысле эквивалентного нормирования ф, так что должно выполняться неравенство ф(а)<1.
Предположим, что имеет место 2, и докажем 3. Заметим прежде всего, что из ф (а) < ф (b) следует ср (a/b) < 1, в силу чего ф (a/b) < 1, a потому и ф (а) < ф (Ь). Пусть теперь р — произвольно фиксированный элемент из К, для которого ф(р)5>1. Тогда и ф(/?)>1. Пусть а—произвольный элемент из К и ср (а) = ср (р)0, ф(а) = ф(/?)6'. Покажем, что ? = ?'. Пусть п и т — целые числа, для которых n/m<? и m>0. Тогда
ф (р)п/т < ф (р)6 = ф (а), так что ф (/?")< ср(ат).
Отсюда следует, что
ф (рп) < ф (ат), ф (р)п!т < ф (а) = ф (р)6', п/т</Ь'.
Так как верхняя граница дробей п/т, для которых п/т<§, в точности равна б, то б<;б' и, равным образом, б'^б, так что
о с / тт log ф(р)
о = о . Но тогда е = -. —/ V — вполне определенное не зависящее
8 / 8 \Р
1) Пусть, скажем, 0<es??. Тогда ) и l°g (е + ?)p = p log?-}-
+ р log ^у+1 jsS р log ? +log ^-^-+1 j = log(ep + ?p).— Прим. ред.
§ ИЗ]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
521
от а положительное число и, так как 6=6', то для всех а имеем
log ф (а) = б' log ф (р) = б log ф (р) = бе log ф (р) = Б log ф (а), откуда
ф(й) = ф(а)Ё-
То, что из 3 следует 1, очевидно. Таким образом, утверждения 1 и 3 равносильны.
Если К —поле с нормированием ф, а К' —поле с нормированием ф, изоморфное полю К, то изоморфизм между К и К' называется двусторонне непрерывным или топологическим, если он отображает каждую ф-нуль-последовательность из К на некоторую ф-нуль-последовательность из К' и наоборот. Поля К и К' называются в этом случае непрерывно изоморфными. В случае топологического изоморфизма сходящиеся последовательности переходят в сходящиеся, а фундаментальные — в фундаментальные. Отсюда непосредственно следует, что:
Непрерывно изоморфные нормированные поля К и К' имеют непрерывно изоморфные пополнения QK и ПК'.
Задача 4, Показать, что среди известных нам нормирований поля рациональных чисел — а именно, абсолютного значения и р-адических нормирований — любые два неэквивалентны.
§ 143. Нормирования поля рациональных чисел
Приводимая ниже теорема Островского показывает, что известными нам нормированиями поля рациональных чисел — а именно, р-адическими нормированиями и абсолютным значением — исчерпываются, по существу, все возможные нормирования этого поля. При этом в качестве поля значений нормирований опять берется поле вещественных чисел.
Любое нетривиальное нормирование ф поля (Q рациональных чисел либо имеет вид ф (а) = | а |р при 0 <. р 1 и, следовательно, эквивалентно обычному абсолютному значению, либо имеет вид ф(а) = Фр(а)а при некотором фиксированном простом числе р и некотором фиксированном положительном числе о и, следовательно, эквивалентно некоторому р-адическому нормированию.
Доказательство. Для любого целого рационального числа п имеет место неравенство
ф (п) | п |,
потому что
фИ = ф(|п|) = ф(1 + 1+ ••• +1)<
<ф(1) + ф(1)+ ... + ф(1) = |л|.
Пусть 1 и б>1—два произвольных натуральных числа. Разложим bv по степеням числа а:
522
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Наивысшая степень ап числа а в данном случае не превосходит Ь4:
Если теперь предположить, что Л4 = тах(1, ср(а)), то в силу соотношений
ср (&') ==? ф (с0) + ф (с^ ф (а) +... + ф (сп) ф (а)" <
<а (1 +ф (а) + .. , + ф (а)п) (п+ 1) Мп
имеет место неравенство
Первый случай. Нормирование ф архимедово. Тогда существует целое число Ь, для которого ф (Ь) > 1. Если бы для какого-нибудь другого целого числа а> 1 имело место неравенство ф (а) 1,
то из доказанного выше неравенства получалось бы противоречие: ф(Ь)^1. Следовательно, ф(а)>1 для всех целых чисел а> 1. Тем самым в данном случае получается неравенство
Если ф (Ь) — Ьр, то отсюда следует, что ф (а) = а9. Поэтому
ап *=?
т. е.
или
В силу леммы из § 141 отсюда следует, что
ф (Ь) йС М 1о8а,
т. е.
IОВЬ
Ф (Ь) ф (а) 1о^а,
Так как а и Ь можно поменять местами, то
Ф (а)1о8а ^ ф (ьу°еЬ,
и, следовательно,
ф(г) = |г]р
« ИЗ]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
523
для каждого рационального числа г = а/Ь. Обязательно р>0, так как ф(а)>1, и ps?;l, так как
2Р = ср (2) = ф (1 + 1) sS ф (1) + ф (i) =2.
Второй случай. Нормирование ф неархимедово. В этом случае Ф (a) «S 1 для всех целых чисел а. Совокупность всех целых чисел а, для которых ф(а)<1, является, очевидно, идеалом в кольце целых чисел. Этот идеал прост, так как из ф (ab) = — ф (а) ф (b) < 1 с необходимостью следует, что ф (а) < 1 или ф(Ь)<1- Напомним, что в кольце целых чисел каждый идеал является главным и, в частности, каждый простой идеал порождается некоторым простым числом. Целые числа а, для которых ф(а)<<1, являются поэтому кратными некоторого простого числа р. Каждое рациональное число г может быть представлено
