Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5=^min(ay(a0), да (а,), ..., да(ал^), да(1)) =
min (w(a0), w(l)) = min(W (?), 0).
§ 144] СЛУЧАЙ полного поля 529
Если от показательных нормирований т (я), IV (!) перейти к обычным
Ф (а) —е^а\ Ф (!) =е~ то нормирование расширения Л будет определяться равенством
ф©=>/"фЫ
или равенством
Ф(5) = УЛФ(^л ©),
если Л имеет конечную степень т над К.
Заметим, что та же формула верна и в случае архимедова нормирования. Единственный нетривиальный случай имеет место тогда, когда К — поле вещественных чисел, а Л — поле комплексных чисел. Нормирование
ф(1) = |?1р
поля К можно продолжить без каких бы то ни было дополнительных построений до
ф(!) = |51р.
Однако для \ = а ф- Ы имеет место равенство
|! I = = уж® = УЩЖ\,
так что
Ф(?) = 1?1р = Кф(ЛГ(?))-
По этой причине в дальнейшем мы снова рассматриваем архимедовы и неархимедовы нормирования вместе.
Пусть А — расширение конечной степени поля Н, иъ ..., ип— базис векторного пространства Л/К. Пусть К полно относительно нормирования ф. Если Ф — некоторое нормирование поля А, совпадающее на К с ф, то последовательность
сг = й|'’)«1 + ... + й^)мге, V = 1, 2, ...,
является фундаментальной последовательностью относительно Ф тогда и только тогда, когда п последовательностей фунда-
ментальны относительно ф.
Так как последовательности а(У} стремятся соответственно к пределам я,- из К, то из сказанного следует, что А —полное относительно Ф поле.
Доказательство. Сходимость последовательностей мы докажем индукцией. Если Су имеют вид
су —
то, очевидно, последовательность {йЛ’} фундаментальна, если только фундаментальна су. Пусть утверждение верно для всех
530 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЛ [ГЛ XVIII
последовательностей вида
т— 1
ст= 2 аГ)ы<-
і=і
Рассмотрим
сч — 2 а^щ.
1=1
Если последовательность {й^} сходится, то |су — АД«,,,} — фундаментальная последовательность; тогда последовательности (аД’} сходятся по предположению индукции. Допустим, что последовательность {а?Д} не сходится. Тогда можно выбрать числовую последовательность пи п2, п3, ... так, что у{а<?> — выполняется для всех V, где V —некоторое фиксированное положительное число. Последовательность
т — 1 (V) (у + л.Л т— 1
А Су—Cv+nv ^ а, — а, ' _ | ^ и(х<)
М О' + 'Ч) ^ (V) (у+»„) “< + “»- 2 1
ит ит 1 = 1 ит ~ат < = 1
должна в этом случае сходиться к нулю, потому что последовательности числителей сходятся к нулю ввиду фундаментальности п.оследовательности {сД. Имеем
т—1
й^ — ит = 2
1 = 1
По предположению индукции, последовательности {бД)} сходятся к некоторым пределам Ъ1 и, значит,
т— 1
bti.li*
1=1
Но это противоречит тому, что иъ ..., «„ — базис поля А над полем К.
Точно также доказывается следующее утверждение: последовательность {сД является нуль-последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми являются последовательности (1 = 1, ..., п).
На этом замечании основывается доказательство следующей теоремы единственности:
Продолжение Ф нормирования ф полного поля К на алгебраическое расширение А определено однозначно и
где N — норма в поле К (?), п — степень этого поля над К.
§ 145]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
531
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай фиксированного элемента g и соответствующего поля К (?); под нормами будут подразумеваться лишь нормы в этом поле. Если некоторая последовательность {cv} в этом поле стремится к нулю (в смысле Ф) и если cv линейно выражаются через базисные элементы иъ ..., ип поля К (?), то, в соответствии со сказанным выше, к нулю стремятся отдельные коэффициенты а{У\ а потому и норма, являющаяся однородным многочленом от этих коэффициентов. Предположим, что Ф (?)" < ф (N (|)) или Ф (?)" > ф (N (|)). Тогда элемент
ln N (?)
т] = , соответственно Г] = -~
в обоих случаях имеет норму yv (т)) = 1 и Ф(т1)<;1. Следовательно, limriv = 0, а потому и lim N (r]v) = 0, что противоречит равенствам N (t]v) = N (r])v = 1.
Задача 4. Произвольный изоморфизм двух нормированных алгебраических расширений А, А' полного нормированного поля К, оставляющий на месте элементы из К, обязательно переводит нормирование поля А в нормирование поля А'.
Задача 5. Поле комплексных чисел обладает лишь одним нормированием Ф, которое в поле вещественных чисел совпадаете tp(a) = ja|P— это нормирование Ф(й) = |а]Р.
§ 145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай
Пусть К — произвольное нормированное поле и А —некоторое алгебраическое расширение этого поля. Обратимся вновь к следующему вопросу: как и сколькими способами заданное на К нормирование ф может быть продолжено на А?
Для простоты мы ограничимся сначала простым расширением А = К(9). Элемент 9 будет корнем неразложимого многочлена F (t) из К [/].
Перейдем от К к пополнению Q и построим поле разложения 2 многочлена F (t) над й. Согласно § 144 нормирование ф поля й однозначно продолжается до некоторого нормирования Ф поля 2.
Под вложением поля А в поле 2 мы подразумеваем некоторый изоморфизм ст, который переводит поле А = К (0) на подполе А' = К (0') поля 2 и при этом оставляет неподвижными все элементы из К. Разумеется, изоморфизм а переводит элемент 0 в некоторый корень 0' многочлена F (t) и этим полностью определяется. Мы утверждаем теперь следующее:
