Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно аналогично проводится исследование р-адического случая. Пополнение, соответствующее нормированию ф = Фр поля (Q рациональных чисел, является полем р-адических чисел Пусть в многочлен F (х) разлагается на неразложимые множители следующим образом:
F(x) = F1(x)F2(x) ... Fs(x). (1)
Присоединим к Qp какой-нибудь корень 6V неразложимого
многочлена Fv и построим изоморфизм, который переводит
rl = g(9) в Tlv = g(9v) (конструкция проводится для каждого v = l, ..., s). Этим изоморфизмам соответствуют нормирования
<DV (ц) = Ф (t)v) = У у (А„ (r]v)) (2)
или, если взять логарифмы,
^ (ь) =^р (Nv Ы) •
При этом норма Nv (цу) является произведением всех элементов, сопряженных с T]v, которые получаются, если в равенстве T)v = g-(0v) элемент 0V пробегает последовательно все корни многочлена Fv(x). Если 0v-i, 6\г. ... — эти корни, то
^v(hv)=g(0vl)-g(0v2) ••• (4)
— симметрическая функция корней 0vl, 0V2, ..., которая, следовательно, может быть выражена через коэффициенты многочлена Fv. Таким образом, мы можем с помощью формулы (3) найти все значения если только известно разложение на множи-
тели (1).
Пример. Найти все нормирования квадратичного числового поля А = (Q (У5).
Определяющий многочлен, корнем которого является число 0 = у 5, выглядит так:
Е(х) = х2- 5.
§ 146] НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 535
В поле вещественных чисел F (х) разлагается на два веще-
ственных линейных различных множителя:
F(x)=(x-y'5){x + V5).
Следовательно, существует два вложения, которые получаются, когда 0 отождествляется с —]/'5 или У 5. Соответствующие нормирования при условии, что
т] = а + Ьд
— произвольный элемент поля, имеют вид
Фо(л) = 1« + ^>/'5| (5)
и
ФіСп) = \а — ь У51. (6)
Тем самым найдены два архимедовых нормирования. Обратимся теперь к р-адическим нормированиям.
Дискриминант многочлена F (х) равен 20. Простые числа 2 и 5, входящие в дискриминант, мы рассмотрим в последнюю очередь.
Для всех остальных простых чисел р многочлен F (х) по модулю р не имеет кратных множителей. Следовательно, существуют лишь две возможности: либо F (х) остается неразложимым по модулю р, либо F(х) разлагается по модулю р на два линейных множителя. Если тогда х — с — один из этих множителей, то автоматически х + с — другой из них, потому что сумма обоих корней многочлена х2 — 5 равна нулю. Во втором случае, таким образом,
х2 - 5 = (х — с) (х + с) (mod р),
5 = с2 (mod р).
Итак, существует целое чрсло с, квадрат которого сравним по модулю р с 5. При этом говорят также: 5 является квадратичным вычетом по модулю р.
Обратно: если с2==5(р), то имеет место разложение (7). Следовательно: если 5 не является квадратичным вычетом по модулю р, то многочлен х2 — 5 неразложим по модулю р, а если 5 — квадратичный вычет, то х2 — 5 разлагается по модулю р на два линейных множителя.
В первом случае многочлен F (х) является и р-адически неразложимым, а во втором случае, согласно лемме Гензеля, он разлагается на линейные множители над полем Qp.
В первом случае, согласно сказанному выше, существует только одно соответствующее простому числу р нормирование
ФОіНУ'фр(N (ті)).
Положим опять
г) = а + &0 = й + & УЪ,
536
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
Тогда
N(r\) = {a + bV5) (а-ЬУ5) = а2-5Ь2
и тем самым
Ф(Л) = /ФР (а2-5&2) (8)
для всех простых чисел р, для которых 5 не является квадра-
тичным вычетом.
Если 5 — квадратичный вычет по модулю простого числа р, то, согласно лемме Гензеля, имеет место р-адическое разложение
х2-5 = (х-у)(х + у). (9)
р-адическое число у отыскивается следующим образом: сначала решим сравнение
с2 = 5
по модулю р, затем по модулю р2 и т. д. Каждый раз будут
получаться два решения: си —с. В итоге получатся две после-
довательности содержащихся друг в друге классов вычетов по модулю р, р2, ... Одна из последовательностей определяет р-адическое число у, а другая — р-адическое число —у.
Наконец, два продолжения р-адического нормирования <ур
поля (Q получаются тогда, когда порождающий элемент 0 рассматриваемого поля отождествляется один раз с у, а другой раз с—у. Положим опять
г| = а + 66;
тогда оба нормирования представятся в виде
Фі(ті) = Фр(й + 6у), (10)
Ф2 Сп) = Фр (а — 6у). (11)
Так как р-адическое нормирование фр поля Qp известно, то нормирования Ф2 и Ф2 полностью определены.
Следует отметить, что в конкретных случаях никогда не нужны последовательности классов вычетов по модулю р, р2, ... целиком: процедура может быть прервана после конечного числа шагов. Необходимо лишь выяснить, на какую степень числа р делится р-адическое число а -f- Ьу, чтобы определить нормирование срр (а -f- Ьу). Например, если после трех шагов удалось выяснить, что это число делится на р2, но не делится на р3, то
Фр (а-\-Ьу) = р~2.
Остаются еще два делителя дискриминанта: р = 2 и р = 5. В поле Q5 многочлен F(x)=x2 — 5 в соответствии с признаком Эйзенштейна (§ 144, задача 2) неразложим, потому что все его коэффициенты, не считая первого, делятся на 5, а последний не делится на 52. Поэтому (8) имеет место и для р = 5.
