Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Впрочем, идеал qj — это в точности определенная в § 120 г-я символическая степень простого идеала р. Тем самым высокие примарные идеалы — это в точности символические степени высоких простых идеалов.
Идеалы а, для которых а* = а, называются, в соответствии с »терминологией Прюфера, v-идеалами. Целые и-идеалы — это идеалы, в примарном разложении которых участвуют только высокие примарные идеалы. Все главные идеалы являются у-идеа-лами. В каждом классе квазиравных идеалов существует один-единственный ?-идеал 11*, = а*. Если, следуя Прюферу и Круллю, ограничиться лишь у-идеалами, то понятие квазиравенства окажется ненужным. Основная теорема (теорема 3) переформулируется так:
Каждый v-идеал представляется единственным образом в виде пересечения символических степеней р(г) высоких примарных идеалов.
Задача 1. Все результаты этого параграфа справедливы и в кольцах с делителями нуля, если только ограничиться идеалами, не делящими нулевой идеал, а вместо поля частных взять кольцо частных.
Задача 2. Из теоремы 1 следует целозамкнутость кольца (см. § 138).
Задача 3. Доказать, что а : Ь ~ ab-1.
Дальнейшие обобщения результатов этого параграфа см. в работах: Прюфер (Pr?fer H.).—J. reine angew. Math., 1932, 168, S. 1—36; Лорен-
цен (Lorenzen P.).—Math. Z., 1939, 45, S. 533 — 553.
508
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Сводка результатов теории идеалов
Следующее сопоставление показывает значение для теории идеалов в целостных кольцах сформулированных в § 128 аксиомы I (теорема о цепях делителей), аксиомы II (каждый простой идеал не имеет делителей) и аксиомы III (целозамкнутости):
из I следует: каждый идеал является наименьшим общим кратным некоторых примарных идеалов; соответствующие простые идеалы определены однозначно;
из I и II: каждый идеал является произведением однократных примарных идеалов; представление единственно;
из I и III: каждый идеал квазиравен некоторому произведению степеней простых идеалов; имеет место единственность с точностью до квазиравенства;
из I, II и III: каждый идеал есть произведение степеней простых идеалов; имеет место единственность.
Глава восемнадцатая
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
Указанная в § 78 конструкция расширения О для наперед заданного упорядоченного поля К использует не упорядоченность на К, а лишь существование абсолютной величины (модуля) |а| произвольного элемента поля а. Поэтому естественно попытаться распространить эту конструкцию на поля, не наделенные упорядочением, для которых, однако, существует функция ф (а) со свойствами абсолютной величины.
§ 141. Нормирования
Поле К называется нормированным, если для каждого элемента а из К определено значение функции ф (а) (норма элемента а) со следующими свойствами:
1) ф (а) — элемент некоторого упорядоченного поля Р;
2) ф(а)>0 для афО\ ф(0) = 0;
3) ф(я&) = ф(а)ф(6);
4) ф(а + Ь)<ф(а) + ф(Ь).
Из 2) и 3) немедленно следует, что
Ф(1) = 1, ф(—1) = 1, ф(а) = ф(— а).
Из 4) следует, что если с = а + &, то
Ф (с) — ф (а) ф (с — а).
Но вместе с тем и
Ф (а) — ф (с) ф (с — а).
Поэтому
| ф (с) — ф (а) | =$? ф (с — а).
Неравенство 4) имеет место и тогда, когда Ь заменяется на —Ь:
ф(а-6)<ф(а) + ф(&).
С помощью индукции по п неравенство 4) легко переносится на суммы п слагаемых.
Каждое поле обладает «тривиальным» нормированием: ф (а) = 1 для аф 0 и ф(0) = 0. В дальнейшем мы никогда не будем его рассматривать.
Если поле К упорядочено, то можно положить ф(а) = |а|. Однако существуют и другие типы нормирований. Пусть, например,
510 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. XVIII
I) —поле рациональных чисел. Если р — фиксированное простое число, то каждое рациональное число а Ф 0 можно записать в виде
а~~т рп>
где числа в и 1 не делятся на р; положим
ФР(а) = р'п, ц>р (0) = 0;
тогда на (Е) будет определено некоторое нормирование. Установить условия 1) — 3) легко. Вместо 4) можно доказать даже более сильное неравенство
Фр(а + 6)^шах(фр(а), фрф)). (1)
Действительно, имеем
а^~рп, Ь = ^рт, э, I, и, V не делятся на р,
и если, скажем, фр (Ь) Дг фр (а), т. е. п 5= т, то
, , 5С>рп_т+Ш т
а + Ь= ~йГ—Р'
и, следовательно,
Ф р(а + Ь)=р-т', т'^т,
так что
Фр (а + Ь)^<рр ф).
Это — р-адическое нормирование поля С).
Конструкцию р-адического нормирования легко обобщить. Пусть о — произвольное целостное кольцо, К — его поле частных и р — простой идеал кольца о со следующими свойствами:
А. Все степени р, р2, ... попарно различны и их пересечение равно нулю.
Б. Если элемент а в кольце о делится в точности на ра, т. е. делится на р“, но не делится на ра+1, а элемент Ь делится в точности на рр, то аЬ делится в точности на р“+К
При этом ра обозначает совокупность всевозможных сумм 2 Рх\Р\2 ? ? ? Рха, где рг-х — элементы ИЗ р. В ЧЭСТНОСТИ, р1 = р,
V
р° = 0. Положим теперь ф (0) = 0 и ф(а) = е_а, если элемент а из о делится в точности на р“, где е — произвольное вещественное число, большее 1. Тогда ф определено для элементов кольца о и обладает свойствами 1) — 4).
Но если нормирование определено для элементов целостного кольца, то с помощью равенства
