Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть а и Ь —два целых идеала:
а = ^ ... р9/,
Ь = ^ ••• Р°/
(здесь в обоих случаях указаны простые множители, входящие в а и Ь, возможно, с нулевым показателем степени). Каждый общий делитель содержит лишь простые множители из перечисленных и при этом с показателем степени ^тг, где т; — наименьшее из чисел р';, <тг. Наибольший общий делитель (а, Ь) должен делиться на каждый общий делитель и, в частности, на рр. Следовательно, он может иметь лишь следующий вид:
Р? ••• Р^
Точно так же устанавливается, что наименьшее общее кратное (пересечение) а П Ь идеалов а и Ь является идеалом
где р; — наибольшее из чисел р,-, стг.
Теорема 4. Если а==0(Ь), то в Ь существует элемент ё, для которого
(а, ё) = \>,
498
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Доказательство. Пусть
а = ^Р1..
Ь = V?1 ? • ? \°г (0 < сг; ==с рД
Мы должны выбрать элемент д так, чтобы (1 делился на Ь, но не имел общих с а делителей, отличных от делителей идеала Ь. Положим
Тогда с^О (с). Следовательно, существует элемент Д-, принадлежащий идеалу с,-, но не принадлежащий идеалу с. Тогда
делится на Ь (так как этим свойством обладают все Д). Но вместе с тем
следовательно, элемент с1 не имеет с а общих множителей, отличных от множителей идеала Ь.
Следствие 1. В кольце классов вычетов о/а каждый идеал Ь/а является главным.
Действительно, идеал Ь/а порождается классом вычетов а + д.
Следствие 2. Каждый идеал Ь обладает базисом из двух элементов (а, й), где а Ф 0 — произвольно выбранный элемент из Ь.
Действительно, пусть а — произвольный ненулевой элемент из Ь и а = (а). В соответствии с теоремой, приведенной выше, (а, д) = Ь.
Следствие 3. Каждый идеал Ь с помощью умножения на некоторый идеал Ь, взаимно простой с заданным идеалом с, может быть превращен в главный идеал.
Доказательство. Положим а = еЬ. В соответствии с вышеприведенной теоремой имеем
Сумма
Д- = 0 (ьу;+1) для / Ф г, Д-е?0(^+1).
(1 — (1} -{- . .. -\- (1Г
(а, (Г) = Ь.
(1)
Следовательно, с и Ь должны быть взаимно простыми.
§ 139]
ДРОБНЫЕ ИДЕАЛЫ
499
Задача 1. Пусть О — кольцо всех частных а/b, где а и Ь — целые и Ь не делится на некоторые наперед заданные простые идеалы 1ц, ...,'рг- Тогда каждому идеалу а из с соответствует некоторый идеал 31 из С, состоящий из дробей а/b, где ае«. Идеалам щ, ...,t>r соответствуют простые идеалы 5Pi,^V> а всем остальным простым идеалам из я соответствует единичный идеал D. Каждый идеал в О однозначно представляется в виде произведения степеней идеалов *рх,Кроме того, в кольце О каждый идеал является главным.
§ 139. Дробные идеалы
В § 137 о-модуль в поле частных 2 был назван дробным идеалом, если он обладает конечным базисом. Таким образом, идеалы в о, или «целые идеалы», являются частным случаем дробных идеалов.
Если (Ох..., аг) — базис некоторого дробного идеала, то с помощью умножения на подходящий знаменатель можно сделать все элементы базиса—-а с ними и весь идеал — целыми.
Обратно, если некоторый о-модуль я при умножении на какой-то целый элемент b Ф 0 становится целым идеалом, то в целом идеале bя имеется конечный базис
6я = (а1(..., аг),
а потому
Тем самым мы доказали следующее предложение:
Произвольный о-модуль в поле 2 является дробным идеалом тогда и только тогда, когда он может быть сделан целым идеалом с помощью умножения на некоторый целый элемент Ь ФО.
Мы уже видели, что вместе с я и Ь идеалы я-Ь и (я, Ь) имеют конечные базисы, а потому они одновременно являются и дробными идеалами. То же самое остается верным и для частного модулей я : Ь, где я и Ь — целые идеалы и Ъф О1). Действительно, если Ь Ф 0 — произвольный элемент из Ь, то
Ь- (я : 6) Е Ь- (я : Ь)е я ^ о,
так что я : Ь с помощью умножения на Ь становится целым идеалом. В частности, о : р = *гх — дробный идеал.
Каждый целый или дробный ненулевой идеал обладает обратным. Доказательство. Пусть с —целый или дробный ненулевой идеал и элемент Ь Ф 0 выбран так, что идеал Ьс целый:
6с = я. (1)
!) Под частным модулей а : Ь (в поле 2) мы подразумеваем совокупность элементов ^ из 2, для которых е а.
500
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Если теперь а = р!р2 ... рг, то умножение равенства (1) на р/рз' ... ... рр1 дает в соответствии с теоремой 1 (§ 137)
(P7V р7‘6)с = о, чем и доказано существование обратного идеала
г^рГ1 ... р?Ь.
Из этого предложения следует: целые и дробные ненулевые идеалы образуют абелеву группу.
Уравнение ас = Ь однозначно решается относительно неизвестного с. Решением будет я~1Ь, в других обозначениях, Ь/а.
Из доказанных ранее теорем теперь следует:
Каждый дробный идеал является отношением двух целых идеалов, т. е. представляется в виде
К Ps v;...»; •
При этом можно сокращать каждый идеал, участвующий одновременно как в числителе, так и в знаменателе.
Каждый дробный главный идеал (Я) допускает представление в виде частного двух целых главных идеалов, в котором ни один из г любых наперед заданных простых идеалов не входит одновременно в числитель и знаменатель.
Доказательство. Пусть после сокращения
(Я)= V" vl-
и plt ..., рг —наперед заданные г простых идеалов. С помощью умножения на некоторый идеал Ь, взаимно простой с произведением pjp2 • • • рг> мы получим в знаменателе некоторый главный идеал (d):
