Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 194

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 247 >> Следующая

495
Теорема 1. Если р = о, то
р-р-! = о.
Доказательство. Согласно определению идеала р'1 имеет место включение о ? р-1, так что р = орс:р-1р. Следовательно, целый идеал рр'1 является делителем идеала р, а потому он равен либо р, либо о. Предположим, что
р.р-! = р.
Тогда р-(р-1)2 = (рр'1) р-1 = рр-1 = р, р(р-1)3 = р и т. д. Следовательно, если а Ф 0 — произвольный элемент из р и I' — произвольный элемепт из Р'1, то элемент аЬеер(р_1)е является целым, в силу чего все степени элемента Ь представляются как дроби с одним и тем же фиксированным знаменателем а. Поэтому элемент Ь целый. Это оказывается выполненным для произвольного элемента Ь из р-1, что противоречит лемме 3.
Теперь мы можем доказать основную теорему о разложении:
Теорема 2. Каждый идеал а является произведением простых идеалов.
Доказательство. Можно считать, что а Ф с. Пусть в соответствии с леммой 1
Р1Р2 ? • • Р/- = 0 (л) (1)
и число г выбрано наименьшим; тогда ни одно из укороченных произведений не сравнимо с нулем по модулю а. Пусть далее р — произвольный отличный от о простой идеал, являющийся делителем идеала а (таковой обязательно существует согласно лемме 1). Но тогда произведение рх...рг делится на р и, следовательно (в силу леммы 2), одно из р( делится на р, а потому совпадает с р, поскольку идеалы рг не имеют делителей. Мы можем считать, что рх = р. Умножим (1) на р-1, тогда получится
Рг • • • Р, — 0 (р~ха) == 0 (о);
следовательно, р_1а —целый идеал, который включается в произведение менее чем г простых идеалов. Проведем теперь индукцию по г. Предположим, что для идеалов, которые включаются в произведение менее чем г простых идеалов, отличных от нуля, теорема уже доказана (для идеалов, включающихся лишь в один простой идеал, отличный от нуля, теорема очевидна). Тогда, в частности, теорема верна для р-1а, т. е.
р-1а = р2...р(.
Умножение с обеих сторон на р дает нужное представление для а.
Единственность такого представления гарантирует
Теорема 3. Если а=0(Ь) и а = р1...рг, Ь = р(... р(, то каждый отличный от о простой идеал, входящий в разложение идеала
496
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
1\ входит и в разложение идеала а и по крайней мере столько же раз.
Доказательство. Пусть Так как Д — делитель
идеала а, то, как и выше, мы приходим к выводу о том, что
—это один из идеалов рг. Пусть, например, Г1 = Г1- Тогда
ГГ1« = О (ГГ1*-').
р! = Гг • • • Г/ч
Гх Д = р 2 ... Г .У
Предположим, что наше утверждение уже доказано для меньших значений в (для 5 = 0, Ь = о утверждение тривиально); тогда каждый отличный от о идеал из списка р'2, ..., рД входит в список р2, ..., рг по крайней мере столько же раз. Отсюда следует требуемое.
Следствие 1. Представление идеала а в виде произведения простых идеалов единственно с точностью до порядка следования сомножителей и с точностью до числа сомножителей, равных о.
Следствие 2. Из делимости следует представление в виде произведения: если а == 0 (Ь), то а = Ьс при некотором целом идеале с.
Действительно, в качестве с нужно взять произведение простых сомножителей, входящих в разложение идеала а, которые остаются свободными после составления произведения, равного Ь.
Задач а. Разложить на простые множители-идеалы главные идеалы (2) и (3) в главном порядке числового поля СЕ) ((Г—5).
§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов
Мы видели, что из аксиом I —III (§ 137) следуют теоремы 2 и 3, гарантирующие однозначное разложение идеалов на простые сомножители. Это положение обратимо:
Пусть о — целостное кольцо с единицей. Пусть в с каждый целый идеал а представим в виде произведения простых идеалов: а = рг2 ... р,., и пусть, если а делится на Ь, то в каждом разложении для а каждый отличный от о множитель из разложения для Ь участвует по крайней мере столько же раз. Тогда в кольце о выполняются аксиомы I —III.
Доказательство. Теорема о цепях (аксиома I) немедленно следует из того, что каждый целый идеал а = ... рГ обладает
ЛИШЬ конечным ЧИСЛОМ делителей Ь = р°! ... у°г (о,- ==? р,). В частности, простой идеал р делится только на р и на о, так что выполнена и аксиома II.
Аксиома III (целозамкнутость кольца о в поле частных )?) доказывается так. Предположим, что Я —произвольный элемент поля целый над с; тогда некоторая его степень, скажем Хт,
§ 138]
ОБРАЩЕНИЕ И ДОПОЛНЕНИЕ
497
линейно выражается через к0, к”1-1, или, иначе говоря, при-
надлежит о-модулю 1 = (К°, Я,1, ..., кт~1). Если к — а/Ь, то модуль I с помощью умножения всех его элементов на идеал Ь = (6т~1) становится целым идеалом. Очевидно, что [ удовлетворяет равенству 12 = (. Умножение на Ь2 дает
(ГЬ)2 = (ГЪ)Ъ.
В силу единственности отсюда следует, что
[Ь = Ь,
и, таким образом, если обе части умножить еще на Ь'(т 1),
1 = 0.
Следовательно, элемент к принадлежит кольцу о, что и требовалось доказать.
Обратимся теперь к обобщениям теорем 2 и 3, тоже относящимся к классической теории идеалов.
Тот факт, что из делимости следует возможность представлять элементы в виде произведения, позволяет ввести наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное точно так же, как это делается в случае целых чисел с помощью разложения на простые множители.
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed