Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
12. Из а^=Ь следует, что ас = ЬЬ, где с~с и идеал Ь целый. В частности, а^ДЬ.
13. Из а~Ь следует, что ас = ЬЬ, где и Ь^о.
Действительно, в обоих случаях а (Мг1) = Ь (аЬ-1).
Наибольший общий делитель (а, Ь) является, конечно, квазиделителем как идеала а, так и идеала Ь. Покажем теперь, что:
§ 140] ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ ^
14. Каждый общий квазиделитель идеалов а и Ь является квазиделителем и идеала (а, Ь). Действительно, если с —один из таких делителей, то с* —общий делитель идеалов а и Ь, а потому и идеала (а, Ь).
Два целых идеала а, Ь называются квазивзаимно простыми, если (а, Ь)~о, или, что то же, если каждый целый общий квазиделитель идеалов а и 6 квазиравен кольцу о.
15. Если идеал а является квазивзаимно простым с идеалами Ь и с, то он является таковым и по отношению к произведению Ьс. Действительно, в этом случае
(а, (') • (а, с) = (а2, ас, Ьа, Ьс) ? (а, к).
Левая часть квазиравна кольцу о, а потому и правая часть должна быть такой же.
Следуя Артину, докажем теперь такое предложение:
Теорема 2 (теорема о продолжении). Если даны два разложения некоторого целого идеала а:
а — 1'Л ••• Ьт~Ск ... с„, (1)
то оба произведения можно дальше разложить так, чтобы они совпадали с точностью до порядка следования сомножителей и квазиравенства:
Ьл ~ П 1\ц, «ц ~ П Ьщ- (2)
ц X
Доказательство. Положим (1>ь сА) = Е1Х. В силу 12 имеем Ьх ~ Ьц1'1 и Следовательно, Ьц = (1'1. С) ~ Ьпс!) =
= &и (К, с!), так что (Ы, с!) ~ о. Положим далее (Ь(, с2) = 1'12. В силу 12 имеем ь; — Ь1аЬ,' и са = Ь1ас4, откуда вновь следует, что (Ь?, с2) ~ с. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим, что = ьи1'12 ... и 0^ = 1'!^ (е=1, 2............п). Подставим
это в (1); тогда окажется, что
^11^12 • • ? ^ЛЬЬ2 ... Ьт ^ • • • ^1 п(п-
В силу группового свойства (теорема 1) молено сократить на вц • ? • Ь1л:
М'2 ... Ьт~ ... сп.
Идеал Ь квазивзаимно прост со всеми сЦ и, значит, с произведением с1с2 ... Однако Ь входит в качестве множителя в левую часть соотношения, а потому является делителем произведения с(с2...Ся. Значит, должно иметь место квазиравенство и
можно отбросить множитель 1? тоже:
в2 • • • Ьт ^ ... сл.
Эти рассуждения теперь можно повторить для Ь2, ..., и получить в конце концов требуемые разложения (2),
504
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Начиная с этого места, все готические буквы будут обозначать целые ненулевые идеалы. Такой идеал р мы будем называть неразложимым, если он не является квазиравным идеалу о и если в каждом представлении в виде произведения ^~аЬодин из сомножителей обязательно принадлежит единичному классу, или, что в силу 12 то же самое, если идеал р, не являясь квазиравным идеалу о, не имеет множителей, отличных от р и от о в смысле отношения квазиравенства.
Если заменить неразложимый идеал р на максимальный содержащий его идеал у *, то каждый собственный делитель идеала р* не будет квазиравен идеалу р, а потому обязан быть квазиравным идеалу о. Каждый идеал, квазикратный идеалу р или идеалу р*, является в силу 4 кратным идеала р*. Отсюда получается
16. Идеал р* является простым.
Действительно, если некоторое произведение Ьс двух главных идеалов Ь и с делится на р*, но Ь не делится на р*, то идеал (Ь, р*) является собственным делителем идеала р*, а потому он квазиравен о, откуда
с = м^(Ь, р*)с — (к, р*с)^г(р*, р*) = р*,
следовательно, идеал с является квазикратным идеала р*, а потому он делится на р*.
Если предположить, что в о выполнена теорема о цепях делителей, то окажется справедливым следующее:
17. Цепь целых идеалов а1>а2> ..., в которой каждый последующий идеал является собственным квазиделителем предыдущего (т. е. квазиделителем, не являющимся квазиравным), обрывается после конечного числа шагов.
Действительно, если заменить идеалы а*, а2, ... наибольшими квазиравными идеалами а*, а|, ..., то получится цепь из целых идеалов а* с: а* с: ..., которая, в соответствии с теоремой о цепях делителей, должна оборваться.
Можно сформулировать «теорему о цепях квазиделителей» (утверждение 17) как «принцип индукции по делителям» (см. § 115, четвертая формулировка теоремы о цепях делителей). Из этого принципа без труда получается, что каждый целый идеал квазиравен некоторому произведению неразложимых идеалов. Однозначность разложения получается как частный случай теоремы о продолжении (теорема 2). Таким образом, имеет место
Теорема 3. Каждый ненулевой целый идеал квазиравен произведению неразложимых идеалов р!, р2, ..., ^ (в качестве которых, конечно, можно выбрать простые идеалы р*, ..., р*),
определенному однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и квазиравенства.
§ НО]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
505
Следствие. Идеал а~... V/- тогда и только тогда квази-делится на Ь ~ р| ... р5, когда каждый множитель р,', входящий в разложение идеала Ь, входит в разложение идеала а в не меньшей степени. В частности, если Ь —главный идеал, то, согласно 2, из квазиделимости следует обычная делимость. Если в качестве а и Ь взять главные идеалы (а) и (Ь), то получится критерий делимости элемента а на элемент Ь или того, что элемент аЬ1 целый. При добавлении классов неглавных идеалов к главным идеалам получится область, в которой, согласно теореме 3, имеет место однозначность разложения на простые множители, а этим и достигается цель «классической теории идеалов».
