Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 205

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 199 200 201 202 203 204 < 205 > 206 207 208 209 210 211 .. 247 >> Следующая

в виде г = ~р°, где целые числа г и я не делятся на р. Так
как ф (г) = ф (n) = 1, то ф (г) = ф (р)р = /грст = ц>р (г)°, где о =
= — ~]g0g ^ — некоторое фиксированное число, положительное
в силу ф(р)<1- Таким образом, нормирование ф эквивалентно р-адическому нормированию фр.
После того как нормирования поля рациональных чисел (Q описаны полностью, мы можем перейти к алгебраическим и трансцендентным расширениям; сначала рассмотрим случай алгебраических расширений.
На самом деле мы ограничимся неархимедовыми нормированиями, так как архимедовы нормирования менее интересны. Точнее, имеет место следующая теорема Островского: любое поле К с архимедовым нормированием непрерывно изоморфно некоторому полю, состоящему из комплексных чисел, наделенному обычным абсолютным значением. За доказательством мы отсылаем читателя к оригинальному изложению Ц.
Сформулируем план действий следующим образом: мы будем исходить из некоторого наперед заданного (неархимедова) нормирования ф поля К. Затем мы рассмотрим алгебраическое расширение Л поля К и выясним, как и сколькими способами можно продолжить нормирование ф поля К до нормирования Ф поля Л.
В § 144 поле К предполагается нормированным и полным относительно этого нормирования. В § 145 случай неполного поля сводится к случаю полного поля с помощью некоторого вложения. В § 146 найденные результаты используются для того,
*) Островский (Ostrowski A.). ?ber einige L?sungen der Funktionalgleichung cp (x) ф ({/) = Ф (xy). — Acta math., 1918, 41, S. 271 —284. Основную роль в дальнейшем играет большая статья Островского, опубликованная в Math. Z., 1934, 39, S. 296- 404.
524 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. XVIII
чтобы найти все архимедовы и неархимедовы нормирования произвольного поля алгебраических чисел.
Задача. Если cp0(a) = |aj и фр (а) — р-адические нормирования, то произведение всех этих значений для каждого фиксированного а равно 1.
§ 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля
Пусть поле К полно относительно показательного нормирования w{a)—-—log ф (а), т. е. в нем имеет место критерий сходимости Коши. Выясним, как можно продолжить это показательное нормирование па алгебраическое расширение Л.
Напомним, что элементы а, для которых w(a)>^0, называются целыми и составляют некоторое кольцо, а элементы а, для которых w (а) > 0, составляют в этом кольце некоторый простой идеал р.
Основой в нашем исследовании будет критерий редукции в совершенных полях, восходящий к Гензелю.
Если av — коэффициент с наименьшим показателем в многочлене
о.пхп -f- ап-ххп~х -f-... + а0 над некоторым показательно нормированным полем, то
хп + аЛ=±хп-1 (1^0 av ' av 1 1 av
— многочлен с целыми коэффициентами, среди которых не все делятся на р. Многочлен с таким свойством будет называться примитивным.
Лемма Гензеля. Пусть К — поле, полное относительно показательного нормирования w. Пусть f (х) — примитивный многочлен с целыми коэффициентами из К. Если g0(x) и h0(x) — два многочлена с целыми коэффициентами из К, взаимно простые по модулю р, для которых
/M=go {х)К (*) (mod р),
то существуют два многочлена g(x), h(x) с целыми коэффициентами из К, для которых
f(x)=g(x)h(x), g(x)^go(x)(mod р), h (х) =2 h0 (х) (mod р).
При этом многочлены g (х) и h(x) можно выбрать так, чтобы степень многочлена g(x) была равна степени многочлена g0(*). рассматриваемого по модулю р.
§ 144)
СЛУЧАИ ПОЛНОГО ПОЛЯ
525
Доказательство. Так как в многочленах gu (х) и Н0 (х) можно опустить коэффициенты, принадлежащие идеалу г, и при этом не изменятся ни условия, ни заключение леммы, то мы будем предполагать, что старшие коэффициенты у g0(x) и Н0(х) не делятся на р и многочлен g0 (х) имеет степень г. Более того,
мы будем считать, что g0 (х) умножен на , а /г0 (х) заменен на
аН0(х) таким образом, что ~ g0 (х) — приведенный многочлен степени г, т. е. его старший коэффициент равен 1; мы будем считать, что (х) = хг +... Если в этой ситуации Ь — старший коэффициент и & — степень многочлена Н0(х), то старший коэффициент произведения go(x)h0(x) равен Ь, а степень г + Мы построим
сомножители g(x) и к(х) так, чтобы g(x) был приведенным многочленом степени г, а /г (х) — многочленом степени п — г.
Коэффициенты с многочлена / (х) — g0 (х) Н0 (х) имеют по условию положительные значения ии (с); пусть наименьшее из последних — некоторое число б1>0. Если бх = сю, то ? (x)=g0(x)h0(x), и больше нечего доказывать.
Так как g0(x) и Н0(х) взаимно просты по модулю р, то существуют два многочлена I (х) и т (х) с целыми коэффициентами из К, для которых
1 (х) go (х) + т (х) Н0 (х) = 1 (тоб р).
Наименьшее из значений нормы на коэффициентах многочлена
l{x)go(x) + m(x)h0 (х)-1
— некоторое положительное число 62 Пусть е — наименьшее из чисел б!, 62, и, наконец, я — элемент, для которого Ш (я) = 8. Тогда
/ (х) = go (х) К (х) (тоб я), (1)
^ (х) go (х) + пг (х) Н0 (х) ==г 1 (тоб я). (2)
Построим теперь g(x) как предельное значение некоторой последовательности многочленов gv (х) степени г, начинающейся с g0 (х), а Н(х) — как предельное значение некоторой последовательности многочленов (х) степени о п — г, начинающейся с Н0(х). Предположим, что gv (х) и /гу (х) уже определены и притом так, что
Предыдущая << 1 .. 199 200 201 202 203 204 < 205 > 206 207 208 209 210 211 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed