Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 196

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 190 191 192 193 194 195 < 196 > 197 198 199 200 201 202 .. 247 >> Следующая

... р; ь»; ... р;
' ьр[ ... rt (d) ’
следовательно,
bpj ... р; = (Kd).
Таким образом, и числитель оказался главным идеалом. При этом ни один из идеалов р1( ..., рг не входит в числитель и знаменатель.
Задача. Дробь-идеал а_1& есть частное модулей Ь: а.
По поводу дальнейших сведений из теории идеалов в числовых полях мы отсылаем читателя к книге: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел.—М.: Гостехиздат, 1939. По поводу теории идеалов в функциональных полях и ее приложений отсылаем читателя к фундаментальной работе Деде-кинда и Вебера (Dedekind R., Weber H.). —Crelle’s J., 1882, 92, S. 181.
$ 140]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
501
§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах
Существуют важные целостные кольца, удовлетворяющие аксиомам I и III, но не удовлетворяющие аксиоме II из § 137. Обратимся, например, к кольцу многочленов К [хъ ..., х„] более чем от одной переменной или к кольцу целочисленных многочленов и их конечным целозамкнутым расширениям (главным порядкам). Во всех этих кольцах есть простые идеалы, отличные от нулевого и единичного, обладающие собственными делителями — простыми идеалами с этим же свойством. В таких кольцах нельзя, следовательно, применять теорию идеалов из § 137. Покажем, что, несмотря на это, основные результаты развитой теории остаются верными, если заменить отношение равенства идеалов отношением «квазиравенства», определяемым ниже1).
Итак, пусть о — целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле частных 2. Готические буквы в дальнейшем будут обозначать ненулевые дробные идеалы, т. е. о-модули в 2, которые становятся целыми идеалами при умножении на подходящий ненулевой элемент из о. Под обратным идеалом ст1 опять будет подразумеваться совокупность тех элементов г из 2, для которых идеал г я является целым.
Определим: идеал а квазиравен идеалу Ь, если а-1 = Ь-1. Обозначение: а Ь. Отношение , очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Равным образом идеал а называется квазиделителем идеала Ь, а Ь — квазикратным идеала а, если я-1 е (г1 или, что то же самое, если сгЧ'— целый идеал. Обозначение: я=<сЬ или Ь ^ а.
Простейшие свойства символов ^ и таковы:
1. Из яэЬ следует я<Д. (Доказательство очевидно.)
2. Если я —главный идеал: я = (а), то, обратно, из я^Ь следует я э Ь. Действительно, тогда я-1 = (а-1); из предположения о том, что я-16 — целый идеал, следует, что а~гВ — целый идеал, т. е. все элементы из Ь делятся на а.
3. Если и одновременно я^Ь, то я^Д.
4. Все квазикратные Ь идеала я и, в частности, все квазиравные идеалу я идеалы Ь обладают свойством: Ь ^ (а-1)-1. (Немедленное следствие из целостности идеала Кт1.)
Таким образом, в частности, 6 ?= (я-1)"1- Согласно 1 отсюда следует, что я 3= (д-1)-1. С другой стороны, идеал я-1 (я-1)"1 целый, так что я (я-1)-1, и мы получили свойство
5. я (я-1)-1.
!) Теория, опубликованная автором в Math. Ann., 1929, 101, была впослед-ствии приведена Артином в более стройный вид и публикуется здесь именно в таком виде.
502
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Согласно 4 и 5 идеал (а-1)-1 является наибольшим из содержащих а и квазиравных ему. Мы будем обозначать идеал От1)-1 через а*.
6. Если а=??Ь, то ас Ьс. Действительно, (са) 1 са является целым, так что (са)-1 с ?= а-1 Е Ь-1 и (са)-1 с!' — целый идеал; следовательно, са-^сЬ.
7. Если а~Ь, то ас^сЬ. (Следствие из 6.)
8. Если а^Ь и то ас~Ь5. (Потому что в соответствии с 7 имеем ас^Дч^Ы1.)
Если все идеалы, квазиравные некоторому фиксированному идеалу, объединить в один класс, то класс произведения ас будет, в соответствии с 8, зависеть лишь от класса идеала а и класса идеала с. Следовательно, мы можем определить произведение двух последних классов как класс произведения ас.
9. Единичным классом относительно умножения классов является класс идеалов, квазиравных единичному идеалу и, потому что для каждого а имеет место равенство ао = а.
10. Все квазикратные кольца о и, в частности, все идеалы единичного класса являются целыми. (Частный случай свойства 2: нужно положить а — I.) Следствие: все идеалы, квазиравные некоторому целому идеалу, являются целыми.
Мы докажем теперь важнейшее свойство обращения:
11. аа-1г.
То, что аа-15го, очевидно, потому что аа-1 —целый идеал. Остается доказать, что аа-1=г^о или (аа-1) 1 ^ о. Если Я принадлежит (аа-1)-1, то идеал Яаа-1 является целым, а потому 7а 1 е а-1, откуда Я2а-1 е Яа-1 Е а-1 и т. д., и вообще Я"а 1 д а4, так что Я"а-1 а —целый идеал. Если р. — произвольный элемент из а-1а, то все степени элемента Я после умножения на р становятся целыми. С помощью условия целозамкнутости кольца о, аналогично тому, как это было при доказательстве теоремы 1 из § 137, получается, что сам элемент Я является целым.
Из 11 следует, что при определенном выше умножении классов класс идеала а 1 является обратным по отношению к классу идеала а: произведение классов идеалов а и а-1 есть единичный класс. Отсюда получается
Теорема 1. Классы квазиравных идеалов образуют группу.
Следующие два утверждения позволяют рассматривать квазиделимость и квазиравенство как делимость и соответственно равенство с точностью до множителей из единичного класса:
Предыдущая << 1 .. 190 191 192 193 194 195 < 196 > 197 198 199 200 201 202 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed