Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 141]
НОРМИРОВАНИЯ
511
оно легко распространяется на элементы поля частных. Определение оказывается единственно возможным, потому что из
~ = или ай = Ьс Ь й
следует, что
Ф(а)<р(<0 = ф(Ь)ф(с) или ^ =
Далее, норма ср (а/Ь) также обладает свойствами 1) —4). Первые три свойства просто очевидны. Свойство 4) устанавливается так:
гп (-а- — фМ + бс) ^ фИ) + ф(йс) _ (а\ (с\
™\Ь ' ё) ф (Ьё) ф (Ьё) 6 ) ™\ё)'
Этим способом из нормирования, определенного в целостном кольце о с помощью простого идеала р, получается нормирование поля частных К. Это нормирование называется р-адическим нормированием поля К.
Свойства А и Б выполнены, в частности, тогда, когда р является произвольным простым идеалом в целостном кольце о, отличным от о и от нуля и удовлетворяющим трем аксиомам из § 137. Следовательно, каждому такому простому идеалу р соответствует р-адическое нормирование поля частных К. В частности, это имеет место для простых идеалов р в кольце целых элементов любого поля алгебраических чисел. Отсюда видно, насколько тесна связь между классической теорией идеалов и теорией нормирований.
Псдобно тому, как это было сделано в § 140, можно проводить рассуждения в более общем виде, исходя из целостных колец о, удовлетворяющих лишь аксиомам I и III. В этом случае ограничиваются высокими простыми идеалами р в смысле § 140 и строят их символические степени
С| = Р<"
в смысле § 120. Тогда оказываются выполненными свойства, аналогичные свойствам А и Б:
А'. Все степени р,п попарно различны и их пересечение является нулевым идеалом.
Б'. Если элемент а делится в точности на р<п, а элемент Ь—в точности на р151, то аЬ делится в точности на р(Л+5).
Далее, можно, как и раньше, положить ф (0) = 0 и для каждого элемента а, который делится в точности на р<п,
ф (а) = е~г.
Таким способом вновь получится р-адическое нормирование, соответствующее заданному высокому простому идеалу р.
В кольце многочленов А[хъ хг\ идеал
512
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
также обладает свойствами А и Б. Соответствующая норма ср(/) имеет вид е 5, где 5 —степень слагаемых наинизшей степени в данном многочлене /.
Задача 1. Опустив в определении нормирования требование неотрицательности элемента ф(а), доказать, что если в поле К существует элемент с такой, что ф (с) < 0, то отображение а I—»- ф (а) является изоморфизмом поля К на некоторое подполе поля Р значений нормирования ф. (Доказать, что в 4) имеет место равенство, для чего рассмотреть неравенство в 4) для случая ф (ас-\-Ьс).)
Задача 2. В случае р-адических нормирований требование 4) можно усилить до 1).
Важнейшие исследования о нормированных полях относятся к случаю, когда поле значений Р архимедово. Согласно задаче 2 из § 78 поле Р можно вложить в поле вещественных чисел. Поэтому мы будем отныне считать, что значения ф (а) являются вещественными числами. Предполагаются известными (натуральные) логарифмы вещественных чисел и их простейшие свойства, а также степени ар положительных чисел а с произвольным вещественным показателем.
Мы будем, кроме того, пользоваться следующей леммой о вещественных числах:
Если а, р, у — положительные вещественные числа и
у'1 т р
для каждого натурального числа V, то у -Д 1.
Доказательство. Предположим, что у = 1+б, 8>0.
Тогда для V2 имеют место соотношения уу = (1 Д-бД = 1 -}-у6 +
4- у V (V — 1) б2 +... > vS + у V (V — 1) б2, но для достаточно больших V обязательно
у8>Р и у(у —1)б2>а,
откуда
УУ>Р+ (XV,
что противоречит предположению.
Вещественнозначное нормирование (р поля К называется неархимедовым, если для всех натуральных кратных единицы п = = 1 1 ... +1 выполняется условие
ф (п) ^ 1.
Например, р-адическое нормирование поля (Е) неархимедово. То, что поле значений в этом случае архимедово, не должно вызывать путаницы.
Нормирование ф поля К тогда и только тогда является неархимедовым, когда вместо 4) выполнено более сильное неравенство 4') ф (а + Ь) ^ шах (ф (а), ф (Ь)).
% 141) НОРМИРОВАНИЯ
Доказательство 1. Если 4') имеет место для сумм двух слагаемых, то и для сумм п слагаемых легко получить соответствующее неравенство. В частности, для = l имеем
ср(л) ==?тах(..., ср(1), ...) = 1.
2. Если ф — неархимедово нормирование, то для v = l, 2, ... имеет место следующее:
(Ф (а + 6)Г = ф((а + by) = Ф (av + (^)а'-'Ь + ...+ Ь^
«с ф (a)v + ф (a)v~1 ф (Ь) +.. , + ф (b)v=sc (v + 1) Mv,
где Л4=тах(ф(а), ф(Ь)). Но отсюда, согласно доказанной лемме, следует, что
^ ^ ’ так что Ф (а + ^)
т. е. имеет место 4').
В дальнейшем мы будем рассматривать неравенство 4') как определяющий признак неархимедова нормирования и тогда, когда поле значений Р не есть поле вещественных чисел. Крулль заметил, что областью значений нормирования может служить произвольная упорядоченная абелева группа, поскольку значения нормы лишь перемножаются друг с другом и сравниваются по величине, а сложение не производится.
Часто оказывается полезным следующее замечание, справедливое в отношении всех нормирований, неархимедовых в определенном выше смысле:
Если значения ф (а) и ф (b) различны, то в 4') имеет место равенство.
