Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 4. Используемый при доказательстве теоремы Штурма многочлен Х[ (делитель производной /' (х)) обязательно меняет знак между двумя последовательными корнями многочлена. Доказать. Поэтому Г (х) имеет по крайней мере один корень между двумя любыми последовательными корнями многочлена / (х) (т е о р е м а Р о л л я).
Задача 5. Вывести из теоремы Ролля теорему о среднем значении дифференциального исчисления, утверждающую, что для а<Ь имеет место равенство
при подходящем выборе точки с между а и Ь. Положить / (х)—/(а) —
Задача 6. В любом интервале а^х^Ь, где /' (х) > 0, многочлен / (х) является возрастающей функцией от х; равным образом, если /' (х) < 0, то многочлен является убывающей функцией.
Задача 7. Многочлен / (х) имеет в каждом интервале а =ё х ^ Ь наибольшее и наименьшее значение, причем каждое из них достигается либо в корне производной /' (х), либо в конечных точках отрезка а или Ь.
Если присоединить к полю вещественных чисел К корень I неразложимого в I? многочлена х2 + 1, то получится поле комплексных чисел С = К (г).
Если речь идет о «числах», то в последующем это будет означать, что мы говорим о комплексных (и, в частности, о веще-
х3 —5х2 + 8х—8.
§ 80. Поле комплексных чисел
ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
283
ственных) числах. Алгебраические числа — это такие числа, которые алгебраичны над полем рациональных чисел Понятно, что нужно понимать под полями алгебраических чисел, полями вещественных чисел и т. д. Согласно теоремам из § 41 алгебраические числа составляют некоторое поле А; в нем содержатся все поля алгебраических чисел.
Докажем следующее предложение:
В поле комплексных чисел уравнение х2 = а-\-Ь1 (а, Ь веш,е-ственны) разрешимо; это означает, что каждое число поля комплексных чисел обладает квадратным корнем.
Доказательство. Число х = с-\-сИ (с, (1 вещественны)
тогда и только тогда обладает нужным свойством, когда
(с сИ)2 = а Ы,
т. е. выполнены условия
с2 — й2 = а, 2 сй — Ь.
Из этих равенств следует далее (с2 + с12)2 = а2 + Ь2, так что с2 + д2 = Уа2Ь2. Отсюда и из первого условия определяются с2 и й2\
_ а + 1/ДдСР _ -д + УсР + ь*
с 2 , 2
Действительно, указанные справа величины неотрицательны, поэтому через них можно определить числа с и й с точностью до знака. Умножение дает
4 с2д2 = — а2 (а2 + Ь2) = Ь2\
поэтому знак у с и й можно определить так, чтобы выполнялось и последнее условие
2 сд = Ь.
Из доказанного следует, что в поле комплексных чисел можно решить любое квадратное уравнение
х2 рх + ^ = О,
представляя его в виде
Решение таково:
Р _4_
х = — да,
где до — какое-нибудь решение уравнения до2 = -^—у.
Основная теорема алгебры, а лучше сказать — основная теорема учения о комплексных числах, — утверждает, что в поле С не только каждый квадратный, но и вообще любой отличный от константы многочлен / (г) имеет корень.
284 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ XI
Простейшее доказательство основной теоремы — это, вероятно, теоретико-функциональное, которое проводится так: предположим, что многочлен /(г) не имеет ни одного комплексного корня; тогда
является регулярной во всей z-плоскости функцией, которая при z^-M остается ограниченной (даже стремящейся к нулю); в силу теоремы Лиувилля эта функция является константой, но тогда и /(z) —константа.
Гаусс предложил много доказательств основной теоремы. Второе доказательство Гаусса, которое использует лишь простейшие свойства вещественных и комплексных чисел, но зато довольно сложные алгебраические средства, мы рассмотрим в § 81 1).
Под модулем I ос I комплексного числа a — a-\-bi подразумевается вещественное число
I а I = Уа?-\-Ь2 = Уаа,
где а —комплексно сопряженное, т. е. сопряженное над полем вещественных чисел, число a —bi.
Очевидно, I ос |^0 и I ссI == 0 только для а = 0. Далее,
V a?cc? = У аД.У??, в силу чего
|a?| = |a|-|?|. (1)
Чтобы доказать второе соотношение
I а + ? I ^ I а I + I ? I» (2)
предположим на минуту уже известным более специальное соотношение:
|l+Yl<l + lvl- (3)
Если а = 0, то (2) тривиально; если же а#0, то
I а + ? I = I а (1 + a_1?) | = | а j | 1 -f- a_1? | С
<|a|(l+|a-1?|) = |a| + |? |,
Для доказательства (3) положим y = a + bi\ тогда
\у\ = Уа? + Ь2^Уа2 = \а\,
|1+yI2 = (i+?)(1+t) = i+t+v+v?=
= l+2a + iY|2^l+2|vi + |T|2 = (l+|Y|)2;
следовательно,
|1+yI<i + IyI.
чем и доказывается (3), а значит, и (2).
I) Другое простое доказательство можно найти, например, в книге: Жор-
дан (Jordan С.). Cours d’Analyse I. 3-е изд., с. 202. Интуиционистское доказательство предложил Г. Вейль (Weyl H.).— Math. Z., 1914, 20, S, 142.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ
285
§ 81. Алгебраическая теория вещественных полей
Упорядоченные поля, в частности, поля вещественных чисел обладают тем свойством, что суммы квадратов в таких полях обращаются в нуль только тогда, когда равны нулю все слагаемые. Или, что равносильно: элемент —1 не представляется в виде суммы квадратов 1). Поле комплексных чисел этим свойством не обладает, потому что в нем —1 является квадратом. Мы покажем сейчас, что указанное свойство характерно для полей вещественных алгебраических чисел и полей, сопряженных с таковыми (в поле всех алгебраических чисел); это свойство может быть также использовано для алгебраического построения полей вещественных алгебраических чисел и сопряженных с ними полей. Следуя Артину и Шрайеру, мы введем понятие формально вещественного поля 2):
