Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 118

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 247 >> Следующая

Задача 3. Сколько корней имеет многочлен (г2 — ^)2 — ^3 в вещественно замкнутом расширении поля (Ц (/), если (— бесконечно малая? Где лежат эти корни?
§ 83. Суммы квадратов
Выясним теперь следующий вопрос: какие элементы поля К представляются в виде суммы квадратов элементов из К?
При этом можно сразу ограничиться формально вещественными полями. Действительно, если поле К не является формально вещественным, то —1 представляется в виде суммы квадратов:
-1=2 а!.
1
Если К имеет характеристику, отличную от 2, то отсюда следует, что для произвольного элемента у из К имеет место разложение на л + 1 квадратов:
Если же К имеет характеристику 2, то любая сумма квадратов сама является квадратом:
IX =(1Х)2-
Легко проверить, что сумма и произведение сумм квадратов вновь являются суммами квадратов. Однако и частное двух сумм квадратов является суммой квадратов:
|=а.р.(р-Т-
Докажем для счетных формально вещественных полей К следующую теорему;
СУММЫ КВАДРАТОВ
295
Если элемент у поля К не является суммой квадратов, то существует упорядочение поля К, в котором у является отрицательным элементом.
Доказательство. Пусть у не является суммой квадратов.
Покажем прежде всего, что поле К (У—у) формально вещественно. Если У —у принадлежит К, то утверждение очевидно. В противном случае будем рассуждать так. Если
—1 = 2 («V V— У + УУ 1
то точно так же, как это было получено в теореме 1 (§ 81), устанавливается, что
1+2 У Т ’
т. е. элемент у оказывается суммой квадратов, что противоречит условию. Поэтому поле К (У—у) формально вещественно. Если теперь К (|/—у) упорядочено в соответствии с теоремой 76 (§ 82), то элемент —у, являясь квадратом, должен быть положительным. Утверждение доказано.
В применении к формально вещественным полям алгебраических чисел (если принять во внимание, что согласно § 82 все возможные упорядочения такого поля могут быть получены с помощью изоморфных отображений на сопряженные поля вещественных чисел) это дает следующую теорему:
Элемент у поля К алгебраических чисел является суммой квадратов тогда и только тогда, когда при всех изоморфизмах, переводящих К в сопряженное с ним вещественное поле, число у не переходит в отрицательное число.
Эта теорема сохраняет силу и тогда, когда поле К не является формально вещественным, потому что в этом случае все числа из К являются суммами квадратов, изоморфизмов же указанного типа вообще не существует.
Элементы поля алгебраических чисел К, которые при любом изоморфизме на сопряженное с К поле вещественных чисел оказываются положительными, называются вполне положительными в К. Если у поля К нет вещественных сопряженных полей, то каждое число из К может быть названо вполне положительным. Понятие вполне положительного числа может быть перенесено на произвольное поле К, если вполне положительными элементами из К назвать такие, которые оказываются положительными при всех упорядочениях на К. (В частности, если К не обладает никаким упорядочением, т. е. не является формально вещественным, то любой его элемент вполне положителен.) Итак, результаты
296
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
(ГЛ XI
этого параграфа можно резюмировать следующим образом: в произвольном поле, характеристика которого отлична от 2, каждый вполне положительный элемент представляется в виде суммы квадратов.
Литература к одиннадцатой главе
Дальнейшие сведения о числе квадратов, достаточном для представления вполне положительных чисел числового поля, можно найти в работе Ландау (Landau E.). ?ber die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate.—G?ttingen Nachr., 1919, S. 392. Случай функциональных полей описан в работах: Гильберт (Hilbert D.). ?ber die Darstellung definiter Formen als Summen von Formenquadraten.—Math. Ann., 1888, 32, S. 342 — 350; Артин (Artin E.). ?ber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate.— Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1926, 5, S. 100—115. По поводу основной теоремы алгебры см. ван дер Корпут (van der Corput G.).—Colloque international d’alg?bre, Paris, 1949.
Глава двенадцатая
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Линейная алгебра занимается модулями и их гомоморфизмами, в частности, векторными пространствами и их преобразованиями. В качестве приложения теории модулей в § 86 будет получена основная теорема об абелевых группах. В § 90 речь идет о квадратичных формах, в § 91—об антисимметрических билинейных формах.
Двенадцатая глава целиком опирается на теорию групп с операторами (глава 7).
§ 84. Модули над произвольным кольцом
Пусть 01 — произвольное кольцо с единицей е и и 331 —любой правый 31-модуль, т. е. аддитивная группа с областью операторов 31. Элементы из 331 будут обозначаться латинскими буквами, а из 31 — греческими. Правила оперирования состоят из соответствующих правил в аддитивной группе и еще следующих:
(а + Ь) X = аХ + ЬХ, а (X + р) = аХ + ар, а ? Ху — аХ ? у.
Из законов дистрибутивности, как обычно, следуют аналогичные законы для вычитания, мультипликативные свойства символа «минус», а также тот факт, что произведение равно нулю, если в нем участвует нулевой сомножитель (будь то нуль из 31 или из 331).
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed