Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы записываем операторы справа, однако это дело соглашения. Все доказываемые ниже теоремы остаются верными и тогда, когда операторы стоят слева.
Единица кольца 31 не обязана быть единичным оператором: элемент ае для некоторых а может быть отличным от а. (Примером тому служит правило оперирования аХ = 0 для всех а и для всех X.) Однако всегда имеет место равенство
а = (а — ае) + ае. (1)
Первое слагаемое здесь аннулируется справа множителем е, а второе сохраняется при таком умножении на е. Все первые слагаемые в равенстве (1) образуют некоторый подмодуль 9310 в 2)1, аннулируемый элементом е и, следовательно, всеми элементами
298
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ІГЛ XII
ел из Л; вторые же слагаемые образуют подмодуль ЭЛЪ на котором единица е служит единичным оператором. Общим элементом этих двух модулей может быть только нуль, потому что любой другой элемент не может одновременно аннулироваться и сохраняться единицей данного кольца. Таким образом, представление (1) показывает, что модуль ЭЛ является прямой суммой ЭЛо + ЭЛ^ После того как из модуля ЭЛ исключается не интересная для дальнейшего часть ЭЛ0, остается лишь модуль, на котором е является единичным оператором. По этой причине мы в последующем постоянно предполагаем, что единица кольца Л является одновременно и единичным оператором модуля ЭЛ.
Если, в частности, кольцо Л является телом, то ЭЛ представляет собой векторное пространство над Л в смысле § 19.
Модуль ЭЛ называется конечным над кольцом Л, если его элементы могут быть линейно выражены через конечное число элементов иъ ..., ип в виде
м1^1 + • • • + ип^п- (2)
В этом случае ЭЛ является суммой подмодулей и$\.ъ ..., ипЛ: ЭЛ = КЛ и„Л). (3)
Вместо (3) иногда кратко пишут:
ЭЛ = (1^1, ...» пп).
Если в представлении (2) коэффициенты Ях, ..., Хп однозначно определяются элементом и, то ЭЛ называется модулем линейных форм над Л. В этом случае сумма (3) является прямой:
ЭЛ = ихЛ+ ...-]- ц„Л.
Каждое конечномерное векторное пространство является модулем линейных форм, потому что согласно § 19 в этом случае всегда можно выбрать базис (иъ ..., ип). Согласно § 20 размерность п не зависит от выбора базиса.
Операторный гомоморфизм, отображающий модуль линейных форм ЭЛ = (иъ ..., ип) в модуль линейных форм Л = (уь ..., уп), называется линейным преобразованием ЭЛ в Л. Для каждого такого преобразования А, по аналогии со сказанным в § 23, имеют место равенства:
А (х ф- у) ~ Ах -\~ Ау,
А (хХ) = (Ах) X.
Преобразование А определено однозначно, если задан образ каждого порождающего элемента и*:
Аик= 2 и&‘ь-
Коэффициенты аш составляют матрицу преобразования А.
МОДУЛИ НАД ЕВКЛИДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ
299
Если Л—взаимно однозначное отображение модуля 931 на модуль 9?, то существует обратное отображение Л-1. Для него
Л-Ч = 1 и ЛЛ-^1,
где символ 1 обозначает тождественное преобразование. В этом случае отображение Л и его матрица Цос^Ц называются обратимыми.
Линейное преобразование Л и его матрицу ||а^|| мы часто будем обозначать одной и той же буквой Л. Это не вполне логично, но зато удобно.
§ 85, Модули над евклидовыми кольцами.
Инвариантные множители
О кольце 91 мы будем теперь предполагать, что оно коммутативно и евклидово в смысле § 17. Это означает, таким образом, что каждому элементу а=^= 0 кольца сопоставлено «абсолютное значение» g{a), причем так, что g{ab)^g{a) и возможно деление. Согласно § 17 в этом случае каждый идеал в 91 является главным. Докажем для начала следующее:
Теорема. Пусть Ш—модуль линейных форм над кольцом 91 с базисом («!, ..., ип). Тогда каждый подмодуль 91 в 931 является модулем линейных форм не более, чем с п базисными элементами.
Доказательство. Для нулевого модуля 931 теорема тривиальна. Пусть она уже доказана для (п — 1)-членных модулей 331.
Если 91 состоит из линейных форм лишь от элементов иъ ..., то по предположению индукции все доказано. Если 91 содержит линейную форму вида и^Я„ с ЯлзД0, то элементы Я„, появляющиеся при этом, образуют ненулевой правый идеал в и, следовательно, главный идеал (р„) с р„=^0. Таким образом, в 91 имеется форма / = и^ -ф... -ф ипрп и для любой другой формы -ф...-ф и„Я„ можно найти такую кратную форму 1а формы /, что если ее вычесть из -ф... + м„Ял, то исчезнет коэффициент Кп. Получающиеся таким образом линейные формы из 91 от переменных ии ..., составляют подмодуль, который согласно индуктивному предположению обладает базисом (/ь ... ..., /т-х), т — 1 п — 1. Но тогда формы /1; ..., /т_1; I порождают подмодуль 91.
Элементы 1и ..., 1т^ линейно независимы. Если бы существовала линейная зависимость
+ • • • + 1т—1$ т-1 + 1Р = О
с р ф 0, то сравнение коэффициентов при ип справа и слева дало бы р„|3=0, а это невозможно.
300
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XII
Задача 1 Если Эй — целочисленный модуль линейных форм и 9Ї —его подмодуль, порожденный конечным числом заданных линейных форм о* =
= ^ иіаік< то базис (її 1т) с описанными выше свойствами строится
в конечное число шагов.
Задача 2 С помощью базиса 1т), построенного в задаче 1, ука-
зать способ определения, является ли данная линейная форма Рі«і + .. + Ьпип элементом модуля ?! или нет; другими словами, указать способ распознавания, обладает ли система диофантовых уравнений
