Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы показать, что Р и Р*—тоже эквивалентные расширения поля К, заметим, что любое изоморфное отображение из Р на Р* обязательно сохраняет порядок, который (согласно доказательству теоремы 1 из § 81) определяется свойством элемента быть или не быть квадратом. Поэтому определим следующее отображение о из Р на Р*. Пусть а —элемент из Р, р (х) — неразложимый многочлен, корнем которого является а и корнями которого служат элементы аь а2, ..., аг из Р, пронумерованные так, что ах<а2< пусть при этом а = ак. Если а*,
а2, ..., а* —корни многочлена р(х) в Р* и а^<а|< ... <а*, то пусть а(а) = а|. Очевидно, о определено однозначно и оставляет элементы из К на месте. Нужно доказать, что а является изоморфным отображением. Пусть / (х) — произвольно выбранный для этой цели многочлен над К, Ух, у2, ..., у., —его корни в Р, а у*, у|, ..., у? - его корни в Р*. Пусть, далее, ^(л:) —многочлен над К, корни которого являются квадратными корнями из разностей корней многочлена [ (х). Пусть бц 62, ..., — корни
многочлена ?(х) в Р, а б*, 6|, ..., 6* —его корни в Р*. Согласно доказанному выше поля
Л = К (ух, ..., у„ бх, ..., б,) и Л* = К(у? У*, 6?, ..., 6Г)
являются эквивалентными расширениями поля Н. Следовательно, существует изоморфное отображение х из Л на Л*, оставляющее на месте каждый элемент из К. С помощью т каждому у сопоставляется некоторое у*, и каждому б —некоторое б*. Обозначения выберем так, чтобы было т(у*) = у|, т(бй) = б|. Если у*<у* (в Р), то ух — У* = б* для некоторого индекса Н, так что
у?-у! =6Г,
откуда у|<у* (в Р*). Следовательно, отображение т упорядочивает корни многочлена /(х) в Р и Р* по их величине. Так как это же имеет место для корней неразложимых в К множителей многочлена /(х), то т (у*) = а (у*) (й = 1, 2, ..., я). Выбрав теперь многочлен /(х) так, чтобы среди его корней содержались два
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
293
произвольных наперед заданных элемента а, |5 из Р, равно как и их сумма а + р и произведение а • р, убедимся в том, что а — изоморфное отображение поля Р на Р* и притом единственное, оставляющее на месте элементы из К. Положим Р* = Р; тогда окажется, что наше утверждение об автоморфизмах поля Р также справедливо.
Так как согласно § 77 поле рациональных чисел (Е) допускает только одно упорядочение, из теоремы 8 немедленно следует
Теорема 8а. Существует —и притом только одно с точностью до изоморфизма полей — вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля (Е).
В качестве этого поля можно, конечно, взять обычное поле К вещественных алгебраических чисел (§ 78), получающееся путем выделения алгебраических чисел из совокупности всех вещественных чисел.
Как мы увидим, поле К в А является не единственным вещественно замкнутым полем, а только одним из бесконечного множества эквивалентных ему.
Теорема 9. Каждое формально вещественное алгебраическое расширение К* поля (Е) изоморфно некоторому подполю в К, т. е. некоторому полю вещественных алгебраических чисел.
Доказательство. Согласно теореме 7а мы можем построить алгебраическое вещественно замкнутое расширение К* поля Р*, которое согласно теореме 8а обязательно изоморфно полю К. Отсюда следует требуемое.
Каждое изоморфное отображение из К* на КеК дает, конечно, некоторое упорядочение на К*, так как все подполя К в К являются с самого начала упорядоченными. Наоборот, так можно получить любое упорядочение на К*, потому что конструкция вещественно замкнутого расширения Р*, проведенная в доказательстве теоремы 9, может согласно теореме 8 проводиться так, что упорядочение на К* сохранится. Это упорядочение при указанном изоморфизме перейдет в (единственно возможное) упорядочение на К.
Если, в частности, в качестве К* взять конечное поле алгебраических чисел, у которого есть лишь конечное число изоморфизмов в поле А, то получится следующее утверждение:
Число изоморфизмов, переводящих поле К* в поле вещественных алгебраических чисел, равно числу различных упорядочений, возможных на К* (в частности, это число равно нулю, если К* не является формально вещественным).
Тот факт, что каждое содержащееся в А формально вещественное поле может быть расширено до некоторого вещественно замкнутого поля Р* сг А, приводит к следующему результату: в поле А есть бесконечно много таких полей Р* (которые
294
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
согласно теореме 8а изоморфны друг другу). Поля вида К? =
= ©(?УГ2). гДе П - некоторое нечетное натуральное число и ? — некоторый корень п-й степени из единицы, изоморфны ПОЛЮ
2), а потому формально вещественны. Они, таким образом, приводят к вещественно замкнутым расширениям Р?, которые при фиксированном п все различны, поскольку всякое упорядоченное поле может содержать лишь один корень п-й степени из 2. Число же п таких полей может быть как угодно велико.
Задача 1. Пусть 0 — корень неразложимого над(Ц уравнения х4— х—1 = = 0. Сколькими способами может быть упорядочено поле (Е) (0)?
Задача 2. Поле 03(1), где ^ —переменная, может быть упорядочено бесконечным числом способов, причем как архимедовых, так и неархимедовых. Переменная / может быть выбрана и как бесконечно большая и как бесконечно малая (ср. § 77, задача 1).
