Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
К (Уа1г )/~аг-и (3) можно записать менее, чем с г квадратными корнями. Таким образом, наше предположение в любом случае приводит к противоречию.
Задача 1. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто, а поле вещественных алгебраических чисел вещественно замкнуто.
Задача 2. Построенное в § 72 чисто алгебраическими средствами алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля С) рациональных чисел изоморфно полю А алгебраических чисел.
Задача 3. Пусть Р —некоторое поле вещественных чисел, а 2 — поле всех вещественных алгебраических над Р чисел. Тогда 2 вещественно замкнуто.
Задача 4. Если поле Р формально вещественно и элемент I трансцен-дентен над Р, то Р (і) формально вещественно. (В равенстве—1= Ефу (0 заменить I на подходяще выбранную константу из Р.)
§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей
Теорема 7. Пусть К— формально вещественное поле к О — алгебраически замкнутое расширение поля К. Тогда существует (по крайней мере одно) вещественно замкнутое поле Р, заключенное между К и ?2, для которого й = Р (І).
Доказательство. Применим лемму Цорна (§ 69) к частично упорядоченному множеству М формально вещественных и содержащих К подполей поля й. В каждом линейно упорядоченном подмножестве М имеется максимальный элемент, а именно — объединение всех полей этого подмножества. Согласно лемме Цорна существует некоторое максимальное формально вещественное поле, содержащее К и принадлежащее й; обозначим его через Р.
Если а — произвольный элемент из й, не принадлежащий полю Р, то Р (а) не является формально вещественным. Это возможно лишь тогда, когда а алгебраичен над Р, потому что простое трансцендентное расширение формально вещественного поля формально вещественно (§ 81, задача 4). Следовательно, каждый элемент из й алгебраичен над Р, т. е. й — алгебраическое расширение поля Р. Так как, далее, в качестве а можно взять произвольный элемент из й, не содержащийся в Р, то ни одно простое собственное алгебраическое расширение Р (а) поля Р не может быть формально вещественным, так что поле Р вещественно замкнуто. Согласно теореме 3 (§81) поле Р (г) алгебраически замкнуто, а потому оно совпадает с полем Й. Теорема доказана.
Сформулируем в явном виде некоторые частные случаи и следствия из теоремы 7.
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
291
Теорема 7а. Для каждого формально вещественного поля К существует по крайней мере одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение.
Для доказательства нужно лишь выбрать в качестве поля ?2 из теоремы 7 алгебраически замнутое алгебраическое расширение поля К.
Теорема 76. Каждое формально вещественное поле может быть упорядочено по крайней мере одним способом.
Это следует без каких-либо новых соображений из теоремы 1 (§ 81) и теоремы 7а.
Если, далее, поле ?2 — произвольное алгебраически замкнутое расширение характеристики нуль и в теореме 7 в качестве поля К берется поле рациональных чисел, то получается
Теорема 7в. Каждое алгебраически замкнутое поле О характеристики нуль содержит (по крайней мере одно) вещественно замкнутое подполе Р, для которого ?2 = Р (г).
Для упорядоченных полей теорема 7 может быть существенно усилена:
Теорема 8. Если К — упорядоченное поле, то существует одно и, с точностью до эквивалентности расширений, только одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение Р поля К, упорядочение которого является продолжением упорядочения поля К, Поле Р не имеет нетождественных автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент из К.
Доказательство. Как и в теореме 6 (§ 81), через К будет обозначаться поле, которое получается присоединением к К квадратных корней из всех положительных элементов из К. Пусть Р — алгебраическое вещественно замкнутое расширение поля К. Таковое существует в силу теоремы 7а, поскольку уже известно, что К формально вещественно. Поле Р алгебраично над Н и упорядочение поля Р является продолжением упорядочения на К, так как каждый положительный элемент из К является квадратом в И, а значит, и в Р. Тем самым доказано существование требуемого поля Р.
Пусть Р* —второе алгебраическое вещественно замкнутое расширение поля К, упорядочение которого продолжает упорядочение на К. Пусть /(х) — (не обязательно неразложимый) многочлен с коэффициентами из К. Теорема Штурма позволяет выяснить, не выводя за пределы поля К, сколько корней имеет многочлен / (х) в Р или в Р*: для этого достаточно рассмотреть ряд Штурма для / (х) = хп + а1х'1'1 + .. . + а„. Следовательно, /(х) имеет столько же корней в Р, сколько и в Р*. В частности, каждое уравнение над К, обладающее в Р по крайней мере одним корнем, обладает и в Р* по крайней мере одним корнем, и наоборот. Пусть аа, ..., а, —корни многочлена /(х) в Р, а (5*,
292
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Р*, Р* —его корни в Р*. Пусть, далее, элемент \ из Р выбран так, что К (?) = К (ах, ..., а,), и пусть Е (х) = 0 — неразложимое уравнение для ? над К. Многочлен Т7 (х) обладает в Р корнем Е, а потому и в Р* у него есть по крайней мере один корень г)*. Расширения К (Е) и К (г)*) эквивалентны над К. Так как К (?) порождается г корнями аъ ..., аг многочлена /(х), расширение К (г)*) должно порождаться г корнями этого же многочлена / (х); таким образом, К (г)*) является подполем в Р*, откуда К (л*) = = К(Рх, Ра*)- Поэтому К (ах, ..., аг) и Н (р?, ..., р?) являются эквивалентными расширениями поля К.
