Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Проведенная выше конструкция сопоставляет каждому упорядоченному полю К такое его расширение Й, в котором выполнена теорема Коши о сходимости. В частности, если К —поле рациональных чисел (Е), то й — поле вещественных чисел К. Следовательно, вещественное число в этой теории определяется как класс вычетов по модулю н кольца фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Пусть 2 — упорядоченное поле и ЭЛ — непустое множество элементов из 2. Если в К существует элемент я, для которого
при всех а из ЭЛ,
то 5 называется верхней границей множества ЭЛ, а ЭЛ называется ограниченным сверху. Если существует наименьшая верхняя граница, то она называется верхней гранью множества ЭЛ.
Рассмотрим опять построенное выше на основе поля К поле Й и докажем для случая, когда К, а значит, и й архимедовы, теорему о верхней грани:
Каждое непустое ограниченное сверху множество ЭЛ сг й имеет в Й верхнюю грань. щ
Доказательство. Пусть 5 — произвольная верхняя граница множества ЭЛ, а М — произвольное целое число, превосходящее я (конечно, это число —тоже верхняя граница); пусть ц — произвольный элемент множества ЭЛ и т — целое число, превосходящее — ц. Тогда
— т< ц< М.
Для каждого натурального числа р рассмотрим (конечное) множество всех дробей к ? 2~р (6 — некоторое целое число), лежащее «между» —т и М:
— т & • 2~р «с М. (3)
Найдем наименьшую из трех перечисленных дробей, являющихся верхними границами множества ЭЛ. Хотя бы одна такая дробь существует, потому что таким свойством обладает число М.
Обозначим эту наименьшую верхнюю границу через ар. Тогда ар~2 р уже не будет верхней границей; тем самым для каждого У> р имеет место соотношение
ар - 2-р <а9^ ар. (4)
Отсюда следует, что
\ар — а9\< 2 -р,
а потому
\ар — а?|<2"п при р>п, ц>п. (5)
276
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Для заданного е можно найти натуральное число а затем и степень 2п>Н>г~1. Тогда 2~"<е. Таким образом, (5) утверждает, что {ар} является фундаментальной последовательностью, которая тем самым определяет некоторый элемент со поля ?2. Из (4), далее, следует, что
ар — 2-*<аХар.
Элемент со является верхней границей множества ЭЛ, т. е. все элементы |х из ЭЛ не превосходят со. Действительно, если бы |х>со, то можно было бы найти число 2Р > (р, — со)-1; тогда выполнялось бы неравенство 2~р<р — со. Если к этому неравенству прибавить неравенство ар — 2р^и>, то получится ар<|х> что не так, потому что ар — верхняя граница множества ЭЛ.
Элемент со является наименьшей верхней границей множества ЭЛ. Действительно, если бы элемент а тоже был верхней границей, но меньшей со, то опять можно было бы найти число р, для которого 2 р<со — сг. Так как ар — 2 р не является верхней границей множества ЭЛ, то существует элемент р, из ЭЛ со свойством: ар — 2_р<р. Отсюда следует, что
ар — 2-р < о,
&
и с помощью сложения с предыдущим неравенством мы получаем
ар< со,
чего быть не может. Следовательно, элемент со —верхняя граница множества ЭЛ.
В неархимедовом поле теорема о верхней грани может не иметь места. Действительно, рассмотрим в таком поле последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; существует элемент поля э, превосходящий все натуральные числа; таким образом, эта последовательность ограничена. Если бы элемент g был верхней гранью упомянутой последовательности, то элемент 2g оказался бы верхней гранью удвоенной последовательности 2, 4, 6, ... Так как элемент g обязательно положителен, имеет место неравенство g<2g, в то время как g является верхней границей и для чисел 2п\ таким образом, 2g не может служить верхней гранью — наименьшей верхней границей. Теорема о верхней грани может выполняться лишь в архимедовом поле.
Докажем теперь следующие предложения:
1. Каждое архимедово поле К является порядково изоморфным некоторому подполю К' поля К вещественных чисел.
2. Если в поле К имеет место теорема о верхней грани, то К' = К и, следовательно, поле К порядково изоморфно полю вещественных чисел.
§ 78] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 277
Доказательство. Каждый элемент а поля К является верхней гранью некоторого множества ЭЛ рациональных чисел. В качестве ЭЛ можно выбрать, например, множество всех рациональных чисел г, для которых г<а. То же самое множество имеет некоторую верхнюю границу а' и в R. Отображение а>—*-а' является аддитивным гомоморфизмом, т. е. сумма а-\- b переходит в сумму а'+ 6'. Ядро этого гомоморфизма состоит только из нуля; следовательно, этот аддитивный гомоморфизм является изоморфизмом. Произведению ab двух положительных элементов а и b соответствует произведение а'Ь’. Следовательно, произведениям
(— а) b = — ab и (— а) (— b) = ab
соответствуют в поле R числа
— а'Ь’ — (—а')Ь' и а'Ь' = (—а')(—Ь').
Значит, и в общем случае произведению соответствует произведение. Положительные элементы из К переходят в положительные элементы из К'. Таким образом, поле К порядково изоморфно полю К'. Утверждение 1 доказано.
Если в К выполнена теорема о верхней грани, то, в частности, каждое ограниченное множество рациональных чисел согласно сказанному выше имеет в К верхнюю грань а; поэтому то же множество в К' имеет верхнюю грань а'. Отсюда следует, что в К' лежит каждое вещественное число, потому что каждое вещественное число является верхней гранью некоторого множества рациональных чисел. Следовательно, К' = R, чем и доказывается 2.
