Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Бесконечная последовательность элементов аъ а2, ... из некоторого упорядоченного поля К называется фундаментальной последовательностью {ау}, если для каждого положительного е из К существует натуральное число п = п(г) такое, что
\ар — а?|<е для р>п, <7>я. (1)
Из (1) для <7 = я+1 следует, что
|ар|^|а?| + |ар-аг|^|а„+1| + е = Л1 при р>п.
Таким образом, каждая фундаментальная последовательность ограничена.
Сумма и произведение фундаментальных последовательностей определяются равенствами
сп = пп -}- Ьп> = апЬп.
То, что сумма и произведение тоже являются фундаментальными последовательностями, показывается так: для каждого е>0 существуют пг и п2 такие, что
| ар — а? | < у е при р>пъ у>п1;
\ЬР-Ьд\<~е при р>п2, ?>я2.
Пусть п — наибольшее из чисел пъ тогда
I {ар + Ьр)-(ад + Ьд) |<е для р>п,
Аналогично, пусть Мх и Мг таковы, что
\ар\<М1 при р>пи | Ьр | < М2 при р > п2, и, далее, для каждого е > 0 пусть п' 5= я2 и п" > пг таковы, что
|ар —а?|<-щ- при р>п\ <7>я\
\ьр-Ъя\<^Щ ПРИ Р>п''• Я>п".
270
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Отсюда с помощью умножения на | Ьр |, соответственно на (ад |, получаем
| арЬр — адЬр | < ~ при р>п', ц>п',
}адЬр — адЬд\<:~ при р>п", <7 >п".
Следовательно, если п — наибольшее из чисел п' и л", то
I арЬр — адЬд | <е при р>п, <7>п.
Очевидно, что сложение и умножение фундаментальных последовательностей удовлетворяют аксиомам кольца; таким образом: фундаментальные последовательности образуют некоторое кольцо о.
Нуль-последовательностью называется фундаментальная последовательность {ар}, которая «сходится к 0», т. е. такая, что для любого е>0 существует п со свойством
|ар|-<е при р>п.
Покажем, что
Нуль-последовательности образуют в о некоторый идеал и. Доказательство. Если {ар} и {Ьр} — нуль-последовательности, то для каждого е>0 существуют п1 и п2 такие, что
К1<|е для р>пи \ьр\<:-^е Для Р>я2'-
следовательно, если опять обозначить через п максимальное из чисел «!, п2, то
\ар — Ьр\<:е для р>п,
откуда {ар — Ьр] — нуль-последовательность. Далее, если {ар} — нуль-последовательность, а {ср} — произвольная фундаментальная последовательность, то существуют такие п' и М, что
\ср\<.М при р>п'\ при этом для каждого е>0 существует такое п ф п (г) > л', что
2р\<~Ш Но тогда
I аРсР | < е при р > л;
следовательно, {арср} — нуль-последовательность.
Обозначим кольцо классов вычетов о/п через П. Покажем, что П является полем, т. е. покажем, что сравнение
ах==1(п) (2)
I аР ! < -ХГ ПРИ Р > п-
§ 78] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 271
в кольце о при а^О(п) обладает некоторым решением. При этом символ 1 обозначает единичный элемент в о, т. е. фундаментальную последовательность {1, 1,
Должны существовать п и т]>0 такие, что
|а?|3гт] при <7 > /г.
Действительно, если бы для всех п и всех г) > О выполнялось неравенство
I яч | < л (<7 > п),
то можно было бы выбрать п при заданном т] настолько большим, чтобы при р~>п, <7 > п выполнялось неравенство
\ар — ад\Сц;
отсюда следовало бы, что
\ар\<2ц
для всех р>п, т. е. последовательность {ар} была бы нуль-последовательностью, что противоречит предположению.
Фундаментальная последовательность {ар} остается в том же классе вычетов по модулю п, если заменить оу, ..., ап на т]. Обозначим опять через аъ ..., ап эти новые п элементов г); тогда для всех р окажется выполненным условие
|ар|3гт]; в частности, арФ 0.
Теперь последовательность {арявляется фундаментальной, потому что для каждого е>0 существует п такое, что
| ар — ач | < ет]2 при р>п, ц >п.
Если бы выполнялось неравенство [аД —аД |5=е для некоторого р>п и некоторого <7>п, то с помощью умножения на \ар\~^г\ и на \а7\фг\ получалось бы соотношение
[ Яр Яд I “ I ССрССд (С1р йр ) | " ВТ) ,
что, однако, места не имеет. Следовательно,
I«?1— йр1|<е при р>п, ц>п.
Очевидно, фундаментальная последовательность {ар1} является решением сравнения (2).
Поле П содержит, в частности, те классы вычетов по модулю п, которые представляются фундаментальными последовательностями вида
{а, а, а,
Эти последние составляют некоторое подкольцо К' внутри П, изоморфное полю К, потому что каждому а из К соответствует такой класс вычетов, различным а соответствуют различные классы
272
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
вычетов, сумме соответствует сумма, а произведению соответствует произведение. Отождествим элементы из К' с соответствующими элементами из К; тогда ?2 станет расширением поля К.
Фундаментальная последовательность называется положительной, если существует е > О в поле К и натуральное число п такие, что
ар>е при р>п.
Сумма и произведение двух положительных фундаментальных последовательностей являются, очевидно, положительными. Кроме того, сумма положительной последовательности {ар} и нуль-последовательности {Ьр} положительна; это показывается с помощью выбора столь большого номера п, что
ар>г при р>п,
|6р|<уе при р>п\
отсюда заключаем, что ар + Ьр>^в при р>п. Тем самым, все
последовательности одного класса по модулю п положительны, если в этом классе есть хотя бы одна положительная последовательность. В этом случае класс вычетов называется положительным. Класс вычетов \ называется отрицательным, если положителен класс —&.
