Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, и>с. Далее, как и в § 3, имеет место следующее правило: из й>6 следует, что а + с > 6 + с, а в случае с > 0 — и соотношение ас > Ьс. Наконец, если а и Ь положительны, то из а > Ь следует, что а-1 < (и наоборот), так как
аЬ (Ь^ — а-1) =а — Ь.
Будем подразумевать под абсолютной величиной или модулем \а\ произвольного элемента а некоторого упорядоченного поля неотрицательный из элементов а и —а; тогда будут выполнены следующие правила:
| аЬ | = \ а | • | Ь ],
I а. Ц- Ь | | а | Ц-1 Ь ].
Первое без труда проверяется для всех четырех возможных случаев:
А\ 0, Ь ;;;5- 0;
А\ 0, Ь < 0;
ас 0, Ь 0;
аС 0, Ь < 0.
Второе правило, очевидно, имеет место при одинаковых знаках, трк как в этом случае обе части соотношения (левая и правая)
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ
267
являются неотрицательными элементами, равными а-\-Ь при а5= 0, 6+= 0 и —(а+ 6) при а<0, 0. Из четырех возмож-
ных случаев остается рассмотреть лишь оставшиеся два; достаточно рассмотреть один из них: а +=0, 0. В этом случае
а + Ь<.а<а — Ь — \а\ + \Ь\,
— а — Ь^ — Ь^а — Ь — \а\-\-\Ь\
и, следовательно,
\а-\-Ь\^\а\ф\ Ь\.
Кроме того,
а2 = (— а)2 = | а |2 0
со знаком равенства лишь при а = 0. Отсюда следует, что сумма квадратов обязательно больше или равна нулю, причем равна нулю лишь при нулевых слагаемых.
В частности, элемент 1 = 12 всегда положителен, как и суммы п 1 = 1 + 1 + . ..+1. Поэтому никогда не может быть выполненным равенство п-1=0. Следовательно: характеристика упорядоченного поля равна нулю.
Лемма. Если К — поле частных кольца 31 и кольцо 31 упорядочено, то поле К можно упорядочить и притом только одним способом так, чтобы полученное упорядочение на 31 совпадало с исходным.
Действительно, пусть К упорядочено нужным способом. Произвольный элемент из К имеет вид а = Ь/с (Ь и с лежат в 31 и сф 0). Из
~>0, соответственно ~- = 0. соответственно ~<0,
с помощью умножения на с2 следует, что
Ьс > 0, соответственно Ьс = 0, соответственно Ьс < 0.
Тем самым любой порядок на К однозначно определяется упорядочением на 31. Обратно, легко показывается, что с помощью условия:
у > 0, если Ьс > 0,
упорядочение на К фактически определяется и при этом сохраняется упорядочение на 31.
В частности, поле рациональных чисел I) может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо Z целых чисел допускает, очевидно, только один— естественный— порядок. Таким образом, т/п> 0, если т ? п — натуральное число. Каждое упорядоченное поле содержит поле Щ и сохраняет на последнем его естественный порядок.
268
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Два упорядоченных поля называют порядково изоморфными, если существует изоморфизм между этими полями, переводящий положительные элементы в положительные.
Упорядоченное поле называется архимедовым1), если при заданном упорядочении для каждого элемента поля а существует «натуральное число» п>а. Тогда для каждого а есть и число
— п<.а, для каждого положительного а существует дробь -^<С
<а. Например, поле рациональных чисел архимедово. Если упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют «бесконечно большие» элементы, превосходящие каждое рациональное число, и «бесконечно малые», которые превосходят нуль, но меньше любого рационального числа.
Литература о неархимедовых полях А ртин в Шрайер (Artin Е , Schreier О) Algebraische Konstruktion reeler K?rper —Abh Math Sem Univ. Hamburg, 1926, 5, S. 83—115, Бэр (Baer R) Uber nichtarchimedisch geordnete K?rper.—Sitzungsber Heidelb. Akad , 1927 8 Abh
Задача 1. Назовем многочлен f(t) с рациональными коэффициентами положительным, если коэффициент при старшей степени переменной положителен Показать что таким образом определяется некоторое упорядочение конца многочленов Q [f], а потому и поля частных Q (t), причем это последнее упорядочение не является архимедовым (элемент t «бесконечно велик») Задача 2. Пусть
f (х) =хп + аххп~1 + .. + а„,
где а; принадлежит некоторому упорядоченному полю К. Пусть М — наибольший из элементов 1 и | аг | + ... +1 ап | Показать, что
/ (s) > 0 для s > М,
(— 1 )nf (s) > 0 для s С—М.
Следовательно, если у f (х) есть корни в К, то все они принадлежат области
— М s М
Задача 3 Пусть по-прежнему f {х) = хп +aiXn-1-f- ..-\-ап и все коэффициенты а, больше или равны некоторому элементу —с, где с 3:0. Показать, что / (s) > 0 для s>l+c (Воспользоваться неравенством
sm>c(sm i + sm-2+ .. +1) )
С помощью замены х на —х определить тем же способом границу —1—с' так, чтобы было (—1)л/(«)>0 для s<—1—с'. Ести, кроме старшего коэффициента 1, и все av ., аг положительны, то границу 1+с можно заменить
Н3 1 + 1+Щ+ . +а/
!) Аксиома Архимеда в геометрии звучит так если Р, ?? — любые заданные точки, то, отложив любой заданный ненулевой отрезок («единичный отрезок») от точки Р («нулевой точки») в направлении Р0, достаточно много раз. можно перешагнуть через точку <2.
§ 781 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 269
§ 78. Определение вещественных чисел
Для каждого упорядоченного поля К мы построим упорядоченное расширение П, в котором окажется выполненной известная теорема Коши о сходимости. В частности, если К —поле рациональных чисел, то П будет полем «вещественных чисел». Из различных известных в анализе способов построения поля й мы предложим здесь канторов способ «фундаментальных последовательностей».
