Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 115

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 247 >> Следующая

Прежде всего заметим, что в поле К (г) каждый элемент обладает квадратным корнем и поэтому каждое квадратное уравнение разрешимо. Доказательство проводится с помощью такого же вычисления, как и для поля комплексных чисел в § 80.
0 Символ г здесь и в дальнейшем обозначает корень многочлена х2-|-1.
288
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Для доказательства того, что поле К (І) алгебраически замкнуто, согласно § 72 достаточно показать, что каждый неразложимый над К многочлен /(х) обладает в К (І) некоторым корнем. Пусть /(х) — многочлен без кратных корней, имеющий степень п, и п = 2т<7, где у — нечетное число. Мы проведем индукцию по т. Предположим, что каждый многочлен без кратных корней с коэффициентами из К, степень которого делится на 2т~1, но не делится на 2т, обладает в К (і) некоторым корнем. Для т = 1 это имеет место по условию. Пусть аъ а2 а„ — корни многочлена / (х) в некотором расширении поля Н. Выберем элемент
с из К так, чтобы п -2~1' выражений ос/х* + с (осу + а*) для 1^
имели различные значения. Так как эти выражения,
п (п— 1)
очевидно, удовлетворяют некоторому уравнению степени —?—
над К, то, по предположению, по крайней мере один из них лежит в К (І), например, элемент о^аа + с^ + аа). В силу требования, которому подчинен элемент с, имеет место равенство (см. § 46)
К {ага2, + а2) =? К (а^ + с ^ + а2));
таким образом, ах и а2 можно найти как решения некоторого квадратного уравнения над К (і).
Одновременно с этим мы получаем из теоремы За, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Это — «основная теорема алгебры».
Теорема, обратная к теореме 3, звучит так:
Теорема 4. Если формально вещественное поле К становится алгебраически замкнутым при присоединении элемента і, то оно вещественно замкнуто.
Доказательство. Между К и К (І) нет промежуточных полей; поэтому поле К не имеет алгебраических расширений, отличных от себя самого и от поля К (І). Поле К (Ї) не является формально вещественным, так как —1 является в нем квадратом. Следовательно, поле К вещественно замкнуто.
Из теоремы 4, в частности, следует, что поле вещественных чисел вещественно замкнуто.
Корни уравнения ї(х) = 0 с коэффициентами из некоторого вещественно замкнутого поля К лежат в К (і) и входят в это поле, если только они не принадлежат самому Н, вместе со своими сопряженными элементами (над К). Если а + Ьі — некоторый корень, то а — Ьі — сопряженный с ним корень. Если в разложении многочлена Дх) на линейные множители сгруппировать те из них, которые соответствуют сопряженным корням, в пары, то получится разложение многочлена / (х) на линейные и квадратные множители, неразложимые над К.
алгебраическая теория вещественных полей
289
Мы можем теперь доказать «теорему Вейерштрасса о корнях» для многочленов (§ 79) над любым вещественно замкнутым полем.
Теорема 5. Пусть f (х) — многочлен с коэффициентами из вещественно замкнутого поля Р и а, Ь — элементы из Р, для которых f(a)<. О, f(b)> 0. Тогда существует по крайней мере один элемент с в Р, заключенный между а и Ь, для которого f (с) = 0.
Доказательство. Как мы видели выше, многочлен f(x) разлагается над Р на линейные и квадратные неразложимые множители. Любой неразложимый над Р квадратный многочлен x^ + px + q имеет только положительные значения, потому что его
можно представить в виде (х + — ~j, где первое слагае-
мое неотрицательно, а второе в силу предположения о неразложимости строго положительно. Поэтому перемена знака многочлена f(x) может происходить лишь из-за перемены знака некоторого линейного множителя, который должен по этой причине иметь корень в промежутке от а до Ь.
В силу этой теоремы для вещественно замкнутого поля оказываются справедливыми все следствия, которые выводились в § 79 из теоремы Вейерштрасса о корнях, в частности, теорема Штурма о вещественных корнях.
В заключение будет доказана
Теорема 6. Пусть Н — упорядоченное поле и К — поле, которое получается из К присоединением квадратных корней из всех положительных элементов поля К. Тогда поле К формально вещественно.
Очевидно, достаточно показать, что не может иметь места равенство вида
-1=2 Cv??, (3)
V = 1
где cv — положительные элементы из К, a gv —элементы из К. Предположим, что такое соотношение имеет место. В элементах gv могут встретиться лишь в некотором конечном числе квадратные корни Yаг, ]/а2, ..., Yаг, которые были присоединены к полю К. Будем считать, что среди всех равенств вида (3) мы выбрали и рассматриваем такое, в котором г принимает наименьшее возможное значение. (Обязательно г 5*1, так как в К не существует равенства вида (3).) Каждый элемент gv представляется в виде
?v = riv + ivYan где Tjv, ?v лежат в поле К (Ущ, Ya2» •••> Yar-l)' Таким образом,
п п п
-1=2 сч,тк: + 2 CvOrCv + 2 Y?r 2 6VwU (4)
V = 1 V = 1 V = 1
290
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Если бы в (4) последнее слагаемое равнялось нулю, то это равенство имело бы такой же вид, как и равенство (3), но в него входило бы менее г квадратных корней. Если же это последнее слагаемое не обращается в нуль, то принадлежит полю
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed