Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Поле называется формально вещественным, если —1 не представляется в нем в виде суммы квадратов.
Формально вещественное поле обязательно имеет характеристику нуль; действительно, в любом поле характеристики р элемент — 1 является суммой р— 1 слагаемых 1. Очевидно, что всякое подполе формально вещественного поля тоже формально вещественно.
Поле Р называется вещественно замкнутым3), если само оно формально вещественно, но любое его собственное алгебраическое расширение формально вещественным не является.
Теорема 1. Каждое вещественно замкнутое поле может быть упорядочено одним и только одним способом.
Пусть Р — вещественно замкнутое поле. Докажем следующее:
Если а —отличный от 0 элемент из Р, то либо а является квадратом, либо —а является квадратом, и эти случаи исключают друг друга. Суммы квадратов элементов из Р сами являются квадратами.
Теорема 1 отсюда немедленно следует. Действительно, полагая а>0 в том случае, когда а —квадрат, отличный от нуля, мы определим, очевидно, упорядочение на Р, которое является единственно возможным, потому что каждый квадрат должен быть неотрицательным при любом упорядочении.
т) Если в каком-нибудь поле элемент — 1 представляется в виде суммы квадратов ^а2, то 12 + ^а2 = 0; тем самым 0 является суммой ненулевых квадратов. Обратно, если дана сумма = в К0Т0Р°й> скажем Ь^Ф 0, то на место Ь^ легко поставить 1, разделив всю сумму на 6^; если затем перенести 1 в другую часть равенства, то получится —1 = У] а2.
2)Артин и Шрайер (Artin E., Schreier О.). Algebraische Konstruktion reeller K?rper. —Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1926, 5, S. 83 — 115.
3) Краткое наименование «вещественно замкнутое» предпочитают более точному «вещественно алгебраически замкнутое»,
286
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Если у не является квадратом элемента из Р, то, обозначая через У у корень многочлена х2 — у, мы получаем собственное алгебраическое расширение Р (Уу) поля Р, не являющееся формально вещественным. По этой причине имеет место равенство
— 1 = 2] ХКу + Рг)’2.
\’= 1
ИЛИ
п п п
— 1 =7 2 <4+ I] № + 2Уу 2
\?= 1 У= 1 Г = 1
где ах, pv принадлежат Р. Отсюда следует, что последнее слагаемое должно быть нулевым, потому что иначе элемент У у принадлежал бы полю Р, что противоречит предположению. Наоборот, первое слагаемое не может обратиться в нуль, так
как в противном случае поле Р не было бы формально веще-
ственным. Отсюда мы заключаем, прежде всего, что у не представляется в Р в виде суммы квадратов, так как иначе мы получили бы и для —1 представление в виде суммы квадратов. Проведенные рассуждения доказывают следующее: если у не является квадратом, то оно не является и суммой квадратов. Или, в позитивной форме: каждая сумма квадратов в Р является в Р квадратом.
Мы получили, что
1 + 1]р?
Г = 1
~У = к •
IX
V— 1
Числитель и знаменатель этого выражения являются суммами квадратсв, а потому просто квадратами; отсюда —у = с2, где с —элемент поля Р. Следовательно, для каждого элемента у из Р имеет место по крайней мере одно из равенств: у = Ь2 или — у —с2. Но если уф 0, то оба равенства одновременно не могут иметь места, так как иначе выполнялось бы равенство —1 =(Ь/с)2, чего быть не может.
На основании теоремы 1 мы будем предполагать в дальнейшем, что вещественно замкнутые поля упорядочены.
Теорема 2. В любом вещественно замкнутом поле каждый многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень.
Эга теорема для степени 1 тривиальна. Предположим, что она уже доказана для всех стененей, меньших п, и пусть [(х) — произвольный многочлен нечетной степени п> 1. Если 1(х) разложим в вещественно замкнутом поле Р, то у него есть по край-
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ
287
ней мере один неразложимый множитель нечетной степени, меньшей п, а потому, в силу индуктивного предположения, и корень
в поле Р. Приведем теперь предположение о том, что многочлен
1(х) неразложим, к противоречию. Действительно, пусть а —символически присоединенный корень многочлена /(х). Поле Р (а) не может быть формально вещественным; поэтому
— 1 = 2 (<Н(а))2, (1)
V = 1
где фу (х) — многочлены степени не выше « — 1с коэффициентами из Р. Из (1) получается тождество
—1 = 2 (фу (*))" + /(*)?(*)• (2)
V =1
Сумма многочленов фу имеет четную степень, так как старшие коэффициенты являются квадратами и, следовательно, при сложении не дают нуль. Далее, степень положительна, так как иначе уже (1) давало бы противоречие. Поэтому g(x) имеет нечетную степень, не превосходящую п — 2; следовательно, g(x) обладает в Р некоторым корнем а. Подставим а в (2); тогда
-1 = 2 (фу И)2.
V =1
что и приводит к противоречию, так как элементы фу (а) лежат в поле Р.
Теорема 3. Вещественно замкнутое поле не является алгебраически замкнутым. Но в результате присоединения элемента I получается алгебраически замкнутое поле Д
Первая половина утверждения тривиальна. Действительно, уравнение х2 + 1 =0 неразрешимо в любом формально вещественном поле.
Вторая половина следует непосредственно из следующего утверждения.
Теорема За. Если в некотором упорядоченном поле К каждый положительный элемент обладает квадратным корнем и каждый многочлен нечетной степени обладает по крайней мере одним корнем, то в результате присоединения элемента I получается алгебраически замкнутое поле.
