Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 109

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 247 >> Следующая

Если ни последовательность {ар}, ни последовательность {—ар) положительными не являются, то для каждого е>0 и каждого« существуют такое г>п и такое э>п что
аг^е и —о^е.
Выберем п настолько большим, чтобы при р>п, ц>п выполнялось неравенство
I ар — ад | < е;
тогда, полагая сначала ц = г и беря р произвольно большим, превосходящим п, получим
аР = (ар — ад) + аг < е + е = 2е,
а затем, полагая ^ = э и беря р произвольно большим и превосходящим п, получим
— ар = (ад - ар) - а8 < е + е = 2е,
откуда
| ар | < 2е для р > п,
и, следовательно, {ар\ — нуль-последовательность.
Таким образом, либо {ар\ — положительная последовательность, либо {— ар\ — положительная последовательность, либо {ар\ — нуль-последовательность. Поэтому каждый класс вычетов по модулю п
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
273
положителен, отрицателен или равен нулю. Так как сумма и произведение положительных классов вычетов положительны, мы делаем следующий вывод:
Поле й является упорядоченным.
Непосредственно усматривается, что упорядочение поля К сохраняется в поле Й.
Если последовательность {ар} определяет элемент а, а последовательность {Ьр} — элемент ? поля й, то из
ар ^ Ьр при р > п
следует, что a^?. Действительно, если бы выполнялось a<?, т. е. ? — a>0, то для фундаментальной последовательности \Ьр — ар} существовали бы е и т такие, что
Ьр — ар>г> 0 для р>т.
Выб ем здесь р — т-\-п\ тогда получится противоречие с условием 1р^Ьр. Отметим, что из ар~>Ьр следует не a>?, aa^?.
Ь силу сказанного выше, из ограниченности каждой фундаментальной последовательности следует, что для каждого элемента со поля Й существует превосходящий его элемент S из К. Если поле К архимедово, то для s существует превосходящее его натуральное число п. Таким образом, для каждого со в этом случае существует превосходящее его натуральное число п, т. е. поле й также архимедово.
Конечно, в самом поле Й можно ввести понятия абсолютного значения (модуля), фундаментальной последовательности и нуль-последовательности. Нуль-последовательности и в этом случае составляют некоторый идеал. Если последовательность {ар} сравнима с некоторой постоянной последовательностью {а} по модулю этого идеала, т. е. если {ар —а} —нуль-последовательность, то говорят, что последовательность {ар} сходится к пределу а и пишут
lim ap = a или, короче, limap = a.
р—*• 00
Фундаментальные последовательности {ар} из К, которые служат для определения элементов поля Й, могут, конечно, рассматриваться как фундаментальные последовательности в й, потому что К содержится в й. Покажем следующее: если последовательность {ар\ определяет элемент а поля Й, то lim ар — а. Для доказательства заметим, что для каждого положительного е из Й существует меньший положительный элемент е' из К, а для него в свою очередь существует такое п, что при р>п, q>n имеет место неравенство
I &р | <~С ? *
т. е. разности ?p — ?g и aq — ap обе меньше е\ Согласно сделанному выше замечанию отсюда следует, что ар — а и а — ар меньше
274
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
или равны е' и, следовательно,
| ар — а | ^ е' < е.
Значит, {ар — а} — нуль-последовательность.
Покажем теперь, что поле П не может быть далее расширено с помощью фундаментальных последовательностей, т. е. каждая фундаментальная последовательность {ар) имеет предел уже в поле Q (теорема Коши о сходимости).
При доказательстве мы можем предполагать, что в последовательности {оср} два следующих друг за другом элемента ар, ар+1 всегда различны. Действительно, если это не так, то мы либо можем выбрать подпоследовательность, состоящую из ар, отличающихся от ар_х, и из сходимости которой, конечно, немедленно следует сходимость данной последовательности, либо считать, что последовательность ар остается постоянной, начиная с как 'э-то места: ар = а при р>п\ конечно, в этом случае limap = cc Положим
I ^р+11 =
Так как последовательность {аД фундаментальна, последовательность {еД является нуль-последовательностью Д Согласно предположению ер>0.
Выберем теперь для каждого ар аппроксимирующий его элемент ар со свойством
| CLp ССр | <7 Ср.
Сделать это можно, потому что сам элемент ар определяется фундаментальной последовательностью вида {аГо аРг, ...} с пределом ар. Далее, для каждого е>0 существуют такие п' и п", что
\ар — аД<уе при р>«', q > п',
гР<\ 8 при Р > «"•
Если тенерь л —наибольшее из чисел п' и л", то для р~>п, q>ti три абсолютные величины \ар — ар\, \ар — ад\ и \ад — ад\
меньше и, следовательно,
1 Яр - - I < ] яР - aP I + I aP - а? | +1 a? - а? | < у е + -^ е + у е = е.
Тем самым, элементы ар составляют фундаментальную последовательность в К, определяющую некоторый элемент со ноля Q.
г) До этого момента цель доказательства состояла в отыскании нуль-последовательности, используемой в дальнейшем. В архимедовом случае можно было бы просто положить ер = 2-Р, но мы хотим доказать теорему в полной общности. В неархимедовом случае {2~Р} не является нуль-последовательностью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
275
Последовательность {ар} отличается от этой фундаментальной последовательности лишь на нуль-последовательность {ар — ар}, а потому у нее тот же предел со.
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed