Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
w(b) — w (с).
Последовательность многочленов X, Хх, ..., Хг называется рядом Штурма многочлена f(x). Таким образом, теорема утверждает, что число корней между Ъ и с задается числом перемен знака в ряду Штурма, потерянных при переходе от b к с.
Доказательство. Очевидно, последний многочлен Хг указанного ряда является наибольшим общим делителем многочленов X = f(x) и X1 = f (х). Если считать, что все многочлены ряда разделены на Хг, то f (x) будет освобожден от кратных линейных множителей, а число перемен знака в точке а, не являющейся корнем, останется прежним. Действительно, знаки членов ряда при таком делении либо все изменятся, либо все сохранятся. Поэтому мы можем считать с самого начала доказательства, что описанное деление уже осуществлено и последний член в ряду является ненулевой константой. Второй член в ряду в общем случае уже не будет производной первого, так как, если, скажем, d — некоторый /-кратный корень многочлена f (х) и
X^f(x)^(x-d)lg(x), g{d)?= 0,
Хх = Г (х) = l(x- d)1-1 g {х) + (х - d)‘ g' (x),
!) Под знаком числа с мы подразумеваем один из символов +, — или 0 в зависимости от того, положительно, отрицательно или равно нулю число с. Переменой в последовательности знаков + и — считается любой случай, когда за + следует — или за — следует +. Если в последовательности знаков участвуют и нули, то при подсчете числа перемен знаков они просто не принимаются во внимание.
КОРНИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
281
то удаление множителя (х — с1)1даст два многочлена:
X = (х — 0)ц{х),
XI = 1-в(х) + (х-й)? {х),
а наличие других кратных корней Я, й", ... вызовет дальнейшее сокращение. Обозначим так измененные многочлены ряда Штурма вновь через X = Х0, Хъ ..., Хг.
При этом предположении в любой точке а два последовательных члена ряда не равны одновременно нулю, потому что, если бы, скажем Хк(а) и Хк+х(а) одновременно были равны нулю, то из равенств (1) можно было бы заключить, что и Хй+2(а), ... ..., Хг(а) равны нулю, в то время как Хг = сопэ1=^0.
Корни многочленов в ряду Штурма разбивают интервал Ь ^ на подынтервалы. Внутри любого такого подынтервала ни X, ни Хк не обращаются в нуль, а по теореме Вейерштрасса о корнях отсюда следует, что внутри каждого такого интервала все многочлены ряда Штурма сохраняют свои знаки, так что число ш (а) сохраняется неизменным. Нам, следовательно, нужно еще только выяснить, как меняется число ы> (а) в точке с1, в которой равен нулю один из многочленов ряда.
Пусть сначала й — корень многочлена Хк (0 <.к<г). В силу равенства
Хк-1 = (2кХк — хк+1
числа Хк-1(й) и Хк+1(й) обязаны иметь разные знаки. Тогда и в двух подынтервалах, примыкающих к точке й, многочлены и Хк+1 имеют разные знаки. Каков знак многочлена Хк (+, — или 0), для числа перемен знака между Хк_х и Хк+1 не имеет значения: всегда есть ровно одна перемена. Следовательно, число т (а) не меняется при переходе через точку й.
Пусть теперь (I — корень многочлена /(х) и в соответствии со сделанным выше замечанием
Х = (х — 0)ц(х), ?(60=^0,
*1 = *•?(*) + (*-<%' (х),
где I — некоторое натуральное число. Знак многочлена Хх в точке й, а потому и в двух примыкающих интервалах, совпадает со знаком числа ? (й), в то время как знак многочлена X в каждой точке х равен знаку многочлена (х — d)g(d). Следовательно, при а<С.й имеется перемена знака между X(а) и Х1(а), а при а>й — нет. Все же остальные перемены знака в ряду Штурма, как уже было показано, сохраняются при переходе через точку й. Следовательно, число ни (а) при переходе через с1 уменьшается на единицу. Теорема доказана.
Если теорема Штурма применяется для определения числа корней (различных вещественных) многочлена /(х), то в качестве
282
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
(ГЛ. XI
границы Ь нужно взять настолько малое число, а в качестве границы с —настолько большое число, чтобы при х<6 и при х:>с многочлен вообще не имел корней. Достаточно, например, положить Ь = — М и с = М. Удобнее, однако, выбирать Ь и с так, чтобы все многочлены в ряду Штурма при х<4 и при х>с не имели корней. Тогда их знаки будут определяться знаками их старших коэффициентов: многочлен аахт + а1хт-1 +... при очень больших значениях х имеет знак числа а0, а при очень малых (отрицательных) значениях л: —знак числа (—1 )та0. При таком подходе не приходится думать о том, как велики должны быть числа Ь и с: нужно лишь определить старшие коэффициенты а0 и степени т многочленов Штурма.
Задача 1. Определить число вещественных корней многочлена
Между какими последовательными целыми числами лежат эти корни?
Задача 2. Если последние два многочлена Хг_і, Хг в ряду Штурма имеют степени 1 и 0, то можно вычислить и константу Хг (или ее знак, это только и нужно), подставляя корень многочлена Хг_х в многочлен Хг„г.
Задача 3. Если при вычислении ряда Штурма встретится многочлен Хк, который нигде не меняет своего знака (например, сумма квадратов), то ряд можно оборвать на этом члене. Точно так же можно каждый многочлен Хк, обладающий всюду положительным множителем, сократить на этот множитель и продолжать вычисления с этим измененным X*.
