Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Показать, что понятие предела обладает следующими свойствами:
а) Если {ал} и {$„} — сходящиеся последовательности, то
lim («„ ± ?„) = lim ап ± lim ?„, lim a„?„ = lim an lim ?„.
б) Если lim ?„ Ф 0 и все ?„ Ф 0, то
Hm (?"1) = (lim ?„)-i.
в) Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.
Задача 2. Каждое вещественное число s представляется в виде бесконечной десятичной дроби:
s = a0-f- V av ? 10~v (т. е. s= lim (а0-!- У] av • 10-v)) (0sSav<10).
v = l \ n-«>\ v = i //
Задача 3. Каждое архимедово поле, в котором имеет место теорема Коши о сходимости, порядково изоморфно полю вещественных чисел R,
278
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
§ 79. Корни вещественных функций
Пусть Р —поле вещественных чисел. Рассмотрим вещественнозначные функции /(х) вещественной переменной х. Такая функция называется непрерывной при х = а, если для любого числа е > 0 существует такое число б > О, при котором
\1(а + Н)— /(а)| <в для |А|<6.
Легко доказать, что суммы и произведения непрерывных функций являются непрерывными функциями (см. аналогичное доказательство для фундаментальных последовательностей в § 78). Так как константы и функция !(х) = х непрерывны всюду, то все многочлены от х представляют всюду непрерывные функции ОТ X.
Теорема Вейерштрасса о корнях непрерывных функций утверждает:
Если непрерывная при а^х^Ь функция /(х) такова, что /(а) <0 и /(б)>0, то между а и Ь она обращается в нуль.
Доказательство. Пусть с —верхняя грань всех х, лежащих между а и Ь, для которых {(х)<.0. Имеются три возможности.
1. /(с)>0. Тогда с>а и существует б>-0 такое, что для 0 < /г < б имеет место
/(с)-/(с-й)</(с),
f(c-h)>0,
/ (х) > 0 для с — б < X с.
Следовательно, с — б — верхняя граница для таких х, что / (я) < 0. Но элемент с был наименьшей верхней границей. Следовательно, этот случай невозможен.
2. /(с) <0. Тогда с<б и существует такое б>0, что для
0<й<б, например, для й = уб,
/(с+А)-/(с)<-/(с),
/(с + А)<0.
Тем самым число с не есть верхняя граница всех таких х, что / (х) < 0. Следовательно, и этот случай невозможен.
3. / (с) = 0 — единственный оставшийся случай. Следовательно, /(х) обращается в нуль при х = с.
Теорема Вейерштрасса о корнях применительно к многочлену является основой всех теорем о вещественных корнях алгебраических уравнений. Позднее мы перенесем ее на случай так назы-
КОРНИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
279
ваемых «вещественно замкнутых полей», так что она окажется верной не только для поля вещественных чисел. Все последующие теоремы этого параграфа основываются исключительно на теореме Вейерштрасса о корнях многочленов и тем самым окажутся справедливыми для всех вводимых позднее полей, где эта теорема выполнена.
Следствие 1. Многочлен хп — й при й > 0 и любом натуральном п всегда имеет корень и притом даже положительный.
Действительно, хп — д<.0 при х = 0, а при больших х ^например, х>1+-^ имеем хп — й> 0.
Из ап — Ьп = (а — Ь) (а"-1 -}- ап~гЬ +... + й”*1) следует, далее, что ап>Ьп при а>Ь> 0, откуда можно получить положительный
корень уравнения хп = й. Он обозначается через уй, а при п = 2
просто через У<1 («квадратный корень»). Положим >А)=0. Из
а > Ь 0 следует У а > У Ь, потому что если бы было У а
^У Ъ, то оказалось бы выполненным неравенство а-^-Ь.
Следствие 2. Каждый многочлен нечетной степени имеет корень в поле К.
Действительно, в силу задачи 2 из § 77 существует такое М, что /(УИ)>0 и /(—УИ)<0.
Обратимся теперь к вычислению вещественных корней многочлена /(л;). Под вычислением, в соответствии с определением вещественных чисел, подразумевается сколь угодно точная аппроксимация рациональными числами.
В § 77 (задача 2) мы уже видели, как можно заключить в границы вещественные корни многочлена /(х): если
/ (Х) = хп + а1хп~1 + -.- + ап
и М — наибольшее из чисел 1 и ] а1 | +... +1 ап |, то все корни лежат между —М и М. Число М можно заменить на некоторое (при необходимости большее) рациональное число, которое вновь обозначим через М; интервал —с рациональными концами с помощью промежуточных рациональных точек можно разделить на сколь угодно мелкие части. В какой из этих частей находятся корни, можно будет установить, обладая средством подсчета числа корней в каждой из полученных частей интервала. С помощью дальнейшего разбиения интервала, в котором лежат вещественные корни, можно будет аппроксимировать эти корни сколь угодно точно.
Следующая теорема доставляет средство определения числа корней между двумя заданными границами, а также общего числа корней данного уравнения.
280
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Теорема Штурма. Определим многочлены Хх, Х2, ???, X, на основе заданного многочлена X — f(x) по следующей схеме:
Хх = f (х) (дифференцирование)
X^Q^-Xt,
(алгоритм Евклида) (1)
Xx = Q2X2-X з,
Xr-! = QrXr.
Для каждого вещественного числа а, не являющегося корнем многочлена f {х), пусть w (а) — число перемен знака*) в последовательности чисел
X (а), Х1(а), .... Хг(а),
из которой удалены все нули. Если Ъ и с — произвольные числа, на которых f (х) не обращается в нуль, причем b < с, то число различных корней в интервале Ь^х^с (кратные корни считаются только один раз\) равно
