Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. Если k(t)=k0t, где &0 —константа и /(/')=0, то
X=Ce 0 ; x=Ce~*°'t/2. Заметим, что если / = 0, х=х0. Таким образом, х=х0ег*о'*Р.
Пример 5. Если k(t)=k0t и f(t)=A0t, где k0 и A0-постоянны, a ko — положительно, то
t
X = X0 е-*о'«/2 + е-*»'»/2 f A0X е*о*'/2 dx\
о
p-ft0M/2 '
X = X0e-*ot*ft+_5-Г AqX eft0x./2 ko dx.
k0 .
X=X0 e-*o'72_f A. e-V'/2 [(Є*о-/2)|<]; x==^oe-MV2+ A.(l _e-V'/2).
Заметим, что
lim(x) = —^- при &o>0«
ґ-voo k0
Пример 6. Если ?(0 = wtg(urf) и /(/) = 0,
—Jo tg(cot)rft
^ = Ce 0 ;
jc=C eInC08<w'>; x=Ccos (orf).
Если / = 0, x=x0,
.•. x=A^0 cos (u)/).
Этот интересный результат показывает, что решение колебательного характера не обязательно связано с системами, описываемыми линейными уравнениями второго порядка.
Некоторые нестационарные дифференциальные уравнения первого порядка могут быть преобразованы таким образом, что их решением может стать любая желательная функция при /(O=O-
здесь k(t)—линейный функциональный преобразователь.
2а
Например, если необходимо преобразовать функцию вида
X=X0 е-*
где а — константа, имеем
k=a.
Для преобразования такой функции, как распределение Гаусса
X=X0QT0** при а>0, мы получим преобразующую функцию в виде
k(t) = 2at.
Другие ^иды линейных функциональных преобразователей представлены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Линейные функциональные преобразователи некоторых наиболее часто встречающихся функций при
x+k(t)x=0
X (0 *0е*" Х0е+а" Х9е™я Xq Sin (<i>0 X0 cos (W) x0t±n x0t^at
A(O ±а ±2at ±natn~l —со Ctg (сі>0 <* tg (<оО Tit-* (±e_*-l)
Наконец, можно преобразовать входную функцию f(t) в некоторую функцию g(t), используя линейный функциональный преобразователь
*(<)=/(*>-*<'>. w g(t)
Например, если g(t) = sin при /(^= sin (со/), получим
k } = sin (cop-cos^) = х _ }>
sin (о)/)
Другим примером может быть случай, когда g(t) = U(t) * ПРИ f(0=sin (©О-
Тогда при t^O линейный функциональный преобразователь примет вид
sin («Q-»(0=sin(qrf). w «(O
Конечно, существуют практические трудности в преобразовании функций такого рода, особенно, когда искомый результат имеет колебательный вид, так как в этом случае линейный функциональный преобразователь имеет в знаменателе g{t) — функцию, приобретающую нулевое значение.
* U(t) —единичная функция; ГО при t <0; w 1 1 при t > 0.
24
1 4. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
Так как не существует общих аналитических решений линейных дифференциальных уравнений (стационарны они или нет) выше первого порядка, мы не в состоянии распространить общий метод предыдущего раздела на уравнения более высокого порядка.
В этой части мы стремимся максимально использовать операционные методы (иные, чем метод линейных функциональных преобразований) при решении линейных дифференциальных уравнений.
Допустим, D означает операцию дифференцирования по независимой переменной. Тогда
= dt
Из этого следует, что
D*{r)=-^-{r). (1.18)
dt*
Оператор D обладает следующими свойствами:
(Dm + Dn)r{t)=Dmr{t)-\-Dnr(t); (1. 19)
\{Dm + Dn) + D1} г (0=[Dm + (Dn + D1)) r (t); (1. 20)
(um • Dn) r {t)=Dm+nr (0=Dn+mr (t)=(D" • Dm) г (t); (1.21) Dm (Dn ¦ D1) r(t)=(Dm- Dn) D1 r (t); (1.22)
Dl(Dm-\-Dn)r(t) = (Dl+m -\-Dl+*)r{t). (1.23)
Дифференциальное уравнение первого порядка
4L + ar=f(t) (1.24)
может быть представлено с помощью оператора в виде
(D+a)r=f(t). (1.25)
Таким образом,
rW=bir)m (L26)
Из уравнения (1.17) следует:
г(0=е-Ь^(| f{x) J*^rft + C}. Для случая, когда a(/)=const, имеем
r(/)=e-*< {J/(t)e"rfT + c}. (1.27)
Таким образом,
Ыт)f {t) - Є~" { \ f (Т) Є" dX+C[ (1 •28)
25
l/(D + a) —это символическая запись трансформации /(/), приводящей к образованию суммы дополнительных и частных решений.
Теперь рассмотрим стационарное дифференциальное линейное уравнение второго порядка
a2^T+ai^7+a°r=/w- (к29)
С помощью оператора D получим
(a2D*+aiD+a0) г = /(/), (1.30)
что можно представить с помощью элементарных сомножителей как
(D-S1)(Ds2) г=f(t), (1.31)
где s I (а?-4а**о)1/2 . ооч
2а2 2а2 v
Заметим, что S1 и S2 могут быть комплексными. Дополнительное решение получается из следующих выражений:
= Сге^ (1.34)
/(/)-о
=С2е*«<. (1.35)
/(f)-0
Таким образом, дополнительное решение уравнения (1.30) записывается в форме
гд=г ід + г2д=C1 е*< + C2 е*«<. (1.36)
Частное решение неоднородного уравнения (1.31) записывается как
'.-(??") (-5Гїг)'М
ИЛИ
На основании (1.27) можно записать
(~d3st) 7 (0 ^ e~Stt \f (t) e5tT л- (1 •38)
Заметим, что С в (1.28) связано дополнительным решением и равно нулю.
26
Соединяя (1.37) и (1.38), получим Гч__-і— je-*' ^ /(X1)^dX1 =es>< ^ е<*і-*»>ч ^ e-*«T*/(T)^t1 я?X2.
ri(l-39>
Полное решение является суммой дополнительного и частного решений уравнения (1.29). В связи с этим имеем
г=С1е»>/ + С2е»»/ + е*«/ Je**-*'^« Je-*»*» f(x)d%id%2. (1.40)
Этот метод может быть обобщен для решения стационарных линейных дифференциальных уравнений я-го порядка.
Рассмотрим систему, описываемую стационарным линейным дифференциальным уравнением
