Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
/(<± 772)=-/(0- (1-58)
5. Любая функция, обладающая симметрией, может быть представлена четной и нечетной функцией
f{t) = nf) + nt) 1 f^-ft-V
При анализе такой периодической функции важно определить наличие упрощающих свойств по симметрии. Если они существуют, то известны упрощения рядов Фурье, позволяющие при определении коэффициентов Фурье осуществлять интегрирование на половине периода. Указанные случаи представлены в табл. 1.3.
2 зз
Таблица 1.3
Упрощения в рядах Фурье при различных условиях симметрии
Условия симметрии Упрощения ап
/(0=/(-0 Содержатся только косинусы Г/2 ±\ [/(О- ^fjt]at 0 0
/(0=-/(-0 Содержатся только синусы 0 Т/2 0
/(<±f)-/w Для четных функции Г/2 7І[/МввЙ']Л Г/2 т\ [/W-1»^-)']*
Для нечетных функций 0 0 P 0
f(t± у) =-/(0 Для четных функций 0 0
Для нечетных функций Г/2 0 Г/2 0
fit)
Пример 1. Хорошо известным и часто используемым примером, который обладает большой на- ц глядностью (как иллюстрация для начинающих, ознакомление с • областью частотного анализа) при определении параметров раз- у ложения в ряд Фурье, является ~ к-периодическая прямоугольная n , 0 п
* ґ / г j рис Периодическая прямоуголь-
функция (прямоугольная волна), ная функция
представленная на рис. 1.2.
Эта разрывная функция * описывается следующей системой уравнений:
fit)-
°'-т<'<-т;
/о, ~f <'<Т;
О, —<*<—.
(1.59)
Заметим, что f(/) —функция четная. Следовательно, ряд Фурье будет состоять только из косинусоидальных функций. Так как соГ=2я, коэффициенты при косинусах можно выразить как
Т/2
ап = -у- ^ /о cos (mt) dt; (1,60)
о
sin (/го)/)
г/4 о
0 ^ Г sin (ля/2) 1 0
аЛ=2/0 -1 ' ; при л=1, 2,.
/ія /о
при /г=0.
(1.61) 0.62)
(1.63)
То, что коэффициенты при синусах равны нулю, видно из следующего:
772 ' Т/4
2 г ^ ., . , ^ „ 2
bn=T \ fosin(n(ot)diz
т ^ /о sin (#<*>/)
-Г/2 -Г/4
I COS
Используя (1.63) и (1.64), запишем /о , 2/о
= ^cos(fflu),f^=^o[?
0)я
COS
(^)]-о.
/ (/) = Л- + -21о_ Г cos (^)--L cos (Serf) + — COS (Surf) -
2 , 3 :< 5
--у COS (7(1)/)-(-..,
* Непрерывная везде, кроме точек разрыва. 2*
(1.64)
35
7Ґ
Hl
Ззґ
If1
Sic
_L
7Ж
Ik JL
HlL
т t.
Зи 5cj 7cj 9cj 77w
Амплитудный спектр f(0 представлен на рис. 1.3, а графики частных решений (1.64)—на рис 1.4. Фазовый спектр изменяется от 0 до я для всех значений /г, начиная от 0 при по) = 0.
Рис. 1.3. Амплитудный спектр периодической прямоугольной функции, представленной на рис. 1.2
Пример 2. Рассмотрим разложение в ряд Фурье периодической треугольной функции, представленной на рис. 1.5. Данная функция обладает следующими условиями симметрии:
/(0=-/(-0 и f(t ± -Lj= _/(*). (1.65)
Первое условие означает, что коэффициенты при косинусах должны быть равны нулю. Второе условие предполагает, что коэффициенты при четных гармониках должны быть равны нулю. В силу этого разложение функции в ряд Фурье содержит только коэффициенты Ьп и при этом только те, которые являются нечетными (т. е. O2n+i). При определении коэффициентов Фурье и наличии двух указанных условий симметрии интегрирование осуществляется в интервале одной четвертой части периода. Выражение
T
этой функции при 0 <; / <; — имеет вид
/(0 = (4^)'о. (1-66)
Тогда получим
Т/4
П ПЫ2
(¦f-). (1-68)
На основании предыдущего напишем /(/) = ^(sinu)/-^ sin 3a)/ + -^sin5cuif-^ sin7arf+...J. (1.69)
Фазовый спектр в этом случае изменяется от 0 до я для всех значений ясо, начиная от Y0=O. Амплитудный спектр периодической треугольной функции представлен на рис 1.6.
Свойства частотной характеристики можно выявить из рассмотрения следующих примеров.
1. В случае параллельного смещения оси абсцисс имеем
36
fit),
п =4
-J—
Щ)
/7 = /5
-4
г
/7 = ;
Ал-
Рис. 1.4. Частные случаи выражения (1.64), иллюстрирующие особенности преобразования Гиббса (отклонения от прямоугольной функции) рядом Фурье, аппроксимирующим прямоугольную разрывную функцию
>зтУ ТА ,, \ Л 'о -Т / т\ / ^ \ зт V І і А
\ / *
Рис. 1.5. Периодическая треугольная функция
(где К — константа) и в разложении меняется только «коэффициент усреднения» а0. Раскроем также влияние условий задачи на особенности симметрии. Это особенно наглядно, когда ось абсцисс смещена на величину среднеарифметического значения заданной функции /(/). При этих условиях свойства симметрии не изменяются.
В примере 1 в ряде Фурье существуют только нечетные гармоники. Данная периодическая прямоугольная функция наглядно обнаруживает свои свойства симметрии при исследовании /(/) — -/о/2.
2. Параллельный перенос оси ординат (который означает смещение во времени) не меняет численные значения гармоник периодической функции и влияет только на значения синусов и косинусов в разложении в ряд Фурье. Величины pn2=an2+bn2 не изменяются для периодических функций от времени. Это является основной причиной, по которой в спектральном анализе частотный метод занимает ведущее положение при машинном проектировании.
На основании этого читатель может убедиться в действенности частотного метода и для непрерывных процессов.
