Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 9

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 86 >> Следующая

ап ^ + ап-г -^- г + ... +а0г=/ (*). (1. 41)
В операционной записи (1.41) принимает вид
(ап D- + ап_х D-i +... + O0) г = / (*). (1.42)
Тогда:
1. Напишем характеристическое уравнение, заменяя оператор D на 5, и полученный операторный полином приравняем к нулю.
2. Определим п корней этого полинома /г-го порядка.
3. Если п корней не равны, то дополнительное решение (1.41) принимает вид
г,=C1 е*-< + С,е*<+...+ Cn еV. (1.43)
4. Частное решение уравнения (1.41) может быть найдено методом последовательного интегрирования.
Оно примет вид
гч = е*' |е<*-*>т J е<*-*«>т... je-V/(t)rft< (1.44)
5. Общее решение (1.41) является суммой дополнительного и частного решений.
6. При наличии кратных корней характеристического уравнения решение представляется в виде, показанном в разд. 1.6.
7. Если в частном решении встречаются какие-либо экспоненциальные выражения, повторяющие аналогичные выражения дополнительного решения, общее решение может быть видоизменено способом, аналогичным тому, который применяется при наличии кратных корней.
Приведем некоторые примеры применения операционных методов решения стационарных линейных дифференциальных урав-
Символическое выражение diu dx2, dr3 .. dxn.
27
Пример 1. Рассмотрим стационарный процесс, описываемый следующим линейным дифференциальным уравнением:
x-\-kx=f{t).
Представляя его в операторной форме, получим
(D + k)x=/(t).
Заменяя D на s и полагая /(/)=0, получим характеристическое уравнение
s+k=0. Это уравнение имеет один корень
Sx = — k.
Таким образом, дополнительным решением дифференциального уравнения является
X11=C1 е5*(=Сге-м.
Как и раньше, если /=0, х=х0, то
хл=х0егш.
Частное решение задается выражением t
хч=&* jer**/(t)rft, если /(0=0, *д=0. Если /(/) = Л и А постоянно, то
X4=е-*< J А ek*dx = Y (1 - е-«). о
Если f(t)=AQt, где Л0 —константа,
t
X4=A0^ ^ dx; хч= (t-M.
о
Пример 2. Рассмотрим стационарное линейное уравнение
В операторной записи имеем
(D* + kD)x = f(t)
или
[(D + 0)(D + k)]x=f(t).
Как и раньше, характеристическое уравнение получается сведением f(t) к нулю иD Ks. Тогда
(s+0)(s+a)=0.
28
Так как S1=O и S2=—*,
t t
X=XxArX4=C1 е*' + C2 е*'+е*' j е<*»-^)т [ є5»15 / (t)dt2,
о о
если /(О=0» -K=C1+ C2е-*'. А если f(t)=A (константа), то x=Cl-\-C2e-*<+-^-(I

Если f (t)=A01 (A0- константа), то
х=с1+с2е-«+4(е-*-1)+4'-
Пример 3. Уравнению
соответствует характеристическое уравнение
s3+3s2+4s+2=0, корнями которого являются
S1= —1; S2= — 1 + /; S3= —1-у, где у = У—1. Дополнительное решение имеет вид
x=C1 е*' + C2 е*«< + C3 е**< = C1 е-' + е-' (C2 е* + C3 е-*)= =C1 е-< + е~< [(C2 + C3) cos (0+у (C2- C3) sin (/)],
так как
е-/' = cos (0+У sin (t).
1.5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Для получения частных решений в разд. 1.4 применялся метод последовательных решений. Другим, более простым методом является метод неопределенных коэффициентов. Преимуществом является то, что он включает лишь операции дифференцирования и не требует интегрирования. Ограничением является то, что он неприменим ко всем типам функций, но полезен для функций, представленных в табл. 1.2. Для рассматриваемых нами целей он не несет строгих ограничений, как это имеет место в некоторых случаях, рассмотренных вначале, при использовании других методов. Дифференциальные уравнения, которые описывают линейные системы, имеют решения, которые для большинства рассматриваемых процессов могут быть составлены при использовании этих простых функций.
Метод неопределенных коэффициентов прост в применении и приводит к простым решениям.
Для линейных дифференциальных уравнений с постоянными ^коэффициентами потенциальные функции составляются из суммы
29
или произведения функций табл. 1.2, при этом частный интеграл или частное решение является суммой или произведением соответствующих выражений, представленных в правой колонке таблицы.
Таблица 1.2
Потенциальные функции частных решений
Образование потенциальной функции Образование частного решения
Постоянная, k Постоянная, А
Степень независимой переменной, tn (п— целое число) Экспоненциальная функция, ет' Косинусоида льна я функция, cos (yt) Синусоидальная функция, sin (yt) Pm%Amtm 0 Экспоненциальная функция А\ cos (yt) -f- A2 sin (yt) А\ cos (yt) + A2 sin (yt)
При подстановке потенциальных функций и соответствующих им частных решений необходимо приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях получаемых равенств.
При использовании этой простой методики необходимо осуществлять дополнительные преобразования только в двух случаях:
если характеристическое уравнение обладает нулевыми корнями; *
если потенциальная функция содержит элементарные функции, аналогичные содержащимся в дополнительных решениях.
Если характеристическое уравнение содержит нулевой корень, то возможно преобразование частного интеграла, приводящего к интегралу, решение которого дано в табл. 1.2.
Это преобразование может быть распространено на случай, когда характеристическое уравнение обладает кратными нулевыми корнями.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed