Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 10

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 86 >> Следующая

Во втором случае при наличии кратных корней характеристического уравнения может быть применен метод неопределенных коэффициентов.
1.6. РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащих одну независимую переменную и несколько зависимых, — общеизвестно.
Операционный метод, который обсуждается в этой работе, стандартен и полезен в решении совместных уравнений.
Самым коротким решением системы совместных дифференциальных уравнений с одной независимой переменной является уменьшение данной системы уравнений до одного уравнения.
30
Это уравнение затем может быть решено операционным методом, обсуждающимся в разд. 1.4.
Рассмотрим систему двух стационарных линейных дифференциальных уравнений
A1 (D) x + gx(D)y = fx(t); h2 (D) х + (D) y = f2 (t).
Следующими действиями они могут быть представлены как
g2 (D) [H1 (D) x + gx(D)y]=g2(D) /, (t)
и
(D) [H2 (D) x + g2 (D) у)=gx (D) /2 (t)
и после вычитания (для исключения у) преобразованы к виду
[g2 (D) hx (D) - gl (D) h2 (D)} x=g2 (D) fx (t) - (t) f2[t).
Если оба уравнения умножить соответственно на hi (D) и H2(D), найдем
[Ai (D) g2 (D) - h2 (D) gx (D)] у=A2 (D) fx (t) - hx (D) /2 (t). Эти уравнения могут быть решены операционными методами.
1.7. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ МЕТОДОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
Прежде чем рассмотреть особенности метода моделирования, необходимо познакомиться с основными особенностями областей применения частотных и временных зависимостей, в которых можно успешно применять эти методы.
Ввиду этого рассмотрению условий моделирования и проектирования моделей в настоящей части книги предпошлем область применения частотного метода.
Разложение периодических функций в ряд Фурье
Любая периодическая функция /(0) может быть разложена в ряд Фурье, если имеет период 2Т и удовлетворяет следующим условиям Дирихле:
1. Обладает конечным количеством перегибов в течение одного периода.
2. Имеет ограниченное число максимумов и минимумов в течение одного периода.

3. Интеграл J* l/(0)|rf6 — ограничен.
—т
Рядом Фурье является
OO
f (e)="T"+S[а"008 {пЬ)+Ьп sin (лв)1, (1 •45)
31

где ап=1Г ^/(9)006^9)^9 ПРИ ^=0' (1.46)
— 1С

*я=-^- ^ / (в) sin (лО)вГв при л=1, 2,... (1.47)
—1С
Большинство функций, рассмотренных в этой книге, зависит от времени (если не в явной, то, по крайней мере, в неявной форме).
Уравнения (1.45), (1.46), (1.47) преобразуются к виду, учитывающему, что периодическая функция с периодом T может быть выражена через параметр времени, если учесть, что 9 меняется в течение всего периода в соответствии с соотношением
Є = 2я(//Г) = < (1.48)
где G)=2jt/7\
Подставляя (1.48) в (1.45), (1.46) и (1.47), получим
OO
/ (O=-f - + 21*« cos M + b* skl (1 •49)
772
an=-y ^ f(t)zos(md)dt при л=0, 1, 2,...; (L 50)
-Г/2 Г/2
*я = -|- J f(t) sin(nrt)dt при л = 0, 1, 2,... (1.51)
-7-/2
Функции /(/) можно придать и другой известный в теории управляющих систем вид:
OO
с«=(4+#)1/2; (1.53)
(-?-). (1.54)
Из уравнения (1.52) видно, что периодическая функция (удовлетворяющая условию Дирихле) f(t) может быть представлена как среднеарифметическая величина (за весь период T) * при ну-
* Это можно видеть из (1.46), где ап = 2/2я J / (6) cos пШ при я=0 (1.46)
принимает вид а0=2(1/2я J /(0)^0) = 2 (среднеарифметическое значение / в
—1С
интервале 2л); таким образом, а0/2 равно среднеарифметическому значению / (0). 3
левой частоте синусоидальных компонент, являющихся целыми кратными основной частоты (2я/7).
Амплитуда и относительная фаза этих компонентов даны в (1.53) и (1.54). Зависимость Cn от ясо называется амплитудным спектром функций времени f(t).
Значение этой функции при со = О является, как указывалось, среднеарифметическим. Зависимость фазы ^?п от то называется фазовым спектром f(t).
Комбинация амплитудного и фазовых спектров используется для определения устойчивости динамических процессов.
Графики сп и от /го являются дискретными и изображаются прерывистыми функциями.
Эти функции наносят на график в виде линий, соединяющих значения ординаты и абсциссы (см. рис. 1.3). Иногда они наносятся как линии спектра. Это связано с тем, что с увеличением T уменьшается со, и плотность линий возрастает.
При неограниченном увеличении T дискретный спектр становится непрерывным и ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. Далее будет более подробно рассмотрен этот вопрос.
В зависимости от того, какими свойствами симметрии обладает функция, ряд Фурье принимает тот или иной вид.
Возможны следующие характерные случаи:
1. Когда периодическая функция четная и удовлетворяет условию
/(0 = /(-0- (1-55)
2. Когда периодическая функция нечетная и удовлетворяет условию
/(0=-/(-0- (1-56)
Разложенные в ряд нечетные функции содержат только синусы.
3. Периодическая функция с периодом T содержит только четные гармоники, удовлетворяющие условиям
/(/± 772)=/(/). (1.57)
4. Периодическая функция с периодом T содержит только нечетные гармоники, если она удовлетворяет условию s
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed