Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
-OO
Г/2
а-~ \ f{t)^\dt. (1.84)
-Г/2
Подставляя (1.84) в (1.74), находим
«о 772
/(O=^[Y \ /(і)е-^аАе^'Ш. (1.85)
-оо —Т/2
40
Теперь пусть T—»-оо; тогда получим
, - Г/2
.1.
> ~оо -Г/2
OO OO
=_L ^ f{t) e-J-»f rf/fj e>' dm.
(1.86)
-OO -O
Выражение (1.86) является изображением функции f(t) с помощью интеграла Фурье.
Определим преобразование Фурье, полагая
— OO
Ввиду этого из (1.86) следует, что
OO
(1.87)
(1.88)
?(«») = ] f{t)er**dt.
(1.89)
Уравнения (1.88) и (1.89) называют парным преобразованием Фурье, gfa) называют преобразованием Фурье функции f(t), а f(t) — обращением преобразования Фурье.
Иногда используется следующая форма записи:
g(*)=F{f(t)}; (1.90)
f V)=F-HgMh (1.91)
Пример 3. Рассмотрим амплитудный спектр единичного прямоугольного импульса с амплитудой f0 и продолжительностью Т, как показано на рис. 1.7:
fit)=
U 0</<Г;
t>T.
10, 0>
(1.92)
Тогда
g W= f /о е-^ dt (1 - е-><); (1. 93)
g (U) = Jh- sin ^е-Л»Г/2) .
(«))|=2/0
[{ sin (<йГ/2)
foT
sin (а>Г/2)
<оГ/2
(1.94) (1.95) 41
-3 if -lit -if Bjf hjt_ _ы_ ' T ' T T
I sin (alll) №f'T\ шТ/2 '
\
Tt 27Ґ 3K ZtT 47Ґ 67Ґ TTT
. (lit
2 OJ
Рис. 1.7. Прямоугольный импульс
Рис. 1.8. Амплитудный спектр прямоугольного импульса
График амплитудного спектра прямоугольного импульса представлен на рис. 1.8.
Пример 4. Рассмотрим функцию
Разложение функции f(t) в ряд Фурье в интервале 0<t<l имеет следующий вид:
Ьп=0;
о
і
*.=-f ^C-'2)cos (-5^)dt-о
ГГсо^^) )
п Ll пЫЪ пп v J
— ( 2t cos (плі)--— sin (nnt)4- -^— sin (/Mt/)]!* ;
^ _2 f^os(nn)— 1 \ / 2 cos ля \~|
_ —2(1 + cosCT)
П Л2Я2
Таким образом,
t-P=-L-±- [-J- cos(2*0+ cos (4*0+ -^- (6*0+ • • • ].
Пример 5. Ряд Фурье функции ех на интервале 0<лг<2 обладает особенностью, т. е. содержит синусы и косинусы, где выпукло подчеркивается «нечетность».
42
В этом случае
а = \ е* cos(nnx)dx =-;
п J v ' л2 + Г
Є2— 1
ел cos ^/шд;;яд; =
о
2 — (е2— 1) л
bn= [ ех sin (nnx)dx--
О
Таким образом,
е*=(е2 — 1) (1H--і— cos (л*) H---— cos (2ях) + .
1 12 + 1 V ' 22 -і- 1
•.. — (—-—^ sin Ых) — (—-—\ 5Іп(2л:л:)— ..Д. Очевидно, для больших n
в то время как
ft
Є2 —1
П2 1
Є2 — 1
п
Для больших Az нечетные составляющие разложения функции е* доминируют во всем интервале 0<л:<2.
Данная книга посвящена прикладным проблемам исследования воздействия периодической функции, которая может быть разложена на ряд синусоидальных компонент ряда Фурье, на линейную систему и реакции этой системы, представленной также в виде суммы синусоидальных компонент, каждая из которых является реакцией на соответствующую компоненту воздействующей функции.
Таким образом, результат получается наложением совокупности индивидуальных воздействий, преобразуемых к реакции с помощью периодических функций. Выходная реакция системы обладает при этом синусоидальными волнами той же частоты, что и у воздействующей входной функции, и отличается только величиной фазы и амплитуды, а система может быть охарактеризована передаточной функцией, от которой зависят соответствующие изменения амплитуды и фазы. Эта передаточная функция характеризуется однозначным соответствием между выходом и входом системы. Она является функцией только входных частот. Необходимо обратить внимание на то, что последнее утверждение основывается на особенностях связи характеристик системы, времени и частоты.
Это обстоятельство проясняется после того, как мы проследим связь между «синусоидальной волной на входе» и «синусоидальной
43
' ех dx=e2—:
2
волной на выходе» во времени* которая показывает, что амплитудное и фазовое изменения зависят только от частоты синусоидальной входной волны. В этом смысле мы переносим задачу из временной области в частотную.
Использование теории рядов Фурье позволяет исследовать спектр устойчивых реакций системы на периодические воздействия, не включая области непериодических возмущений и переходных процессов.
Вместе с тем применение преобразований Фурье позволяет переносить рассмотрение непериодических функций из временной в частотную область. Реакция системы на данное воздействие может быть определена с помощью обратного преобразования Фурье, произведения преобразований Фурье, функции воздействия и передаточной функции. При динамическом анализе систем применение преобразований Фурье имеет два ограничения, что приводит к необходимости использования более гибкого преобразования Лапласа.
Первым ограничением является то, что обратное преобразование Фурье включает несобственные интегралы, которые часто вызывают трудности в интегрировании.
Второй, более значительной трудностью является то, что интегралы не сходятся для большого числа наиболее употребимых в инженерной практике передаточных функций, включающих ступенчатую функцию, sin, I sin I и tn (при /1=1,2,3,...).
Например, преобразование Фурье единичной ступенчатой функции
/<н:; ;<?
принимает вид интеграла
_ COS (tat) — J Sin (col)
