Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 12

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 86 >> Следующая

3. На примере 1 показывается, что амплитуда гармонических составляющих периодической прямоугольной функции, обладающая конечным числом разрывов, уменьшается пропорционально Mn.
На примере 2 показано, что
MlL
1_
Bf6

7со
Рис. 1.6. Амплитудный спектр периодической треугольной функции
37
амплитуда гармонических составляющих периодической непрерывной треугольной функции, обладающая разрывами производных, уменьшается пропорционально 1/л2.
Следовательно, этим доказано, что коэффициенты (а) разложения в ряд Фурье периодических функций, имеющих один или большее число разрывов, уменьшаются пропорционально 1/п (с ростом п) и коэффициенты (Ь) разложения в ряд Фурье периодических непрерывных функций, но имеющих разрывы первых производных в одной или большем количестве точек, уменьшаются пропорционально 1/п2 (с ростом п).
4. С помощью ряда Фурье в интервале—T/2<t<T/2 могут быть аппроксимированы и непериодические функции f(t).
Если ряды определены с внешней стороны интервала, то необходимо убедиться, что /(/) аппроксимируется периодом T внутри интервала.
Экспоненциальная форма рядов Фурье
Ряды Фурье в тригонометрической форме, содержащей синусы и косинусы, исторически появились раньше. Однако они могут быть представлены и в экспоненциальной форме. Эта форма легче в обращении и обеспечивает переход к интегралу Фурье и преобразованиям Фурье.
Мы приведем, однако, тригонометрическую форму записи ряда Фурье, чтобы сделать нагляднее этот переход:
OO
/(0=Y+2^I,COS/Wrf"^*,,sinarf^ при ш=2^Т; (1-7°)
Т/2
ап=-у ^ f (t)cos(nwt)dt при # = 0, 1, 2,...; (1.71)
-Т/2 Г/2
bn=Y ^ f{t) sin (not)dt при я=0, 1, 2,.... (1.72)
-7-/2
Согласно формуле Эйлера
sin (wd/)=_L- (е^'-е-'™'); (1. 73) 2У
COS(WO)O=-^-(е^т< -fe-''"0'')- (1.74) Подставляя (1.73) и (1.74) в (1.70), находим
+ ^[(^^)e^ + (a-^^)e^] ; (1.75)
Л-1
38
/(0=«o+ 2(a"e/no,' + a-«e;W). (1-76)
где *п=\{?<п-ІЬп) при л>0; (1.77)
^я=^-(ая+/6л) при п<0; (1.78)
O0=-у- при п=0- (1.79)
Второй член в (1.76) может быть записан в ином виде, если осуществлять замену п на —п, и соответственно пределы суммирования
OO -OO
2 a-„ &ш = 2 ап eJn<*'- (1 • 8°)
Л-1 Л«1
В результате выражение (1.76) может быть упрощено объединением в простую сумму
п--1
Эта запись является экспоненциальной формой рядов Фурье. Комплексные коэффициенты могут быть получены подстановкой выражений (1.71) и (1.72) для ап и Ьп в (1.77):
Т/2
J fW-dt для всех цель,* ,„сел п. (!.82)
-Г/2
В выражении (1.81) п принимает отрицательное значение. Это приводит к возникновению отрицательных частот*, которые не имеют физического смысла для реальных физических систем. Они возникают от математических преобразований синусоидальных и косинусоидальных функций в пары экспоненциальных функций.
Затруднения, связанные с использованием экспоненциальных рядов Фурье в связи с наличием комплексных функций и «отрицательных частот», часто отмечаются как их недостаток. Эти недостатки могут быть устранены, если учесть, что значения коэффициентов рядов Фурье должны быть действительными, если /(/) действительная функция t. Разработка экспоненциальной формы рядов Фурье обязана тому, что она непосредственно ведет к интегралу Фурье и преобразованию Фурье, что важно для распространения положений частотного метода на непериодические функции, и к развитию преобразований Лапласа.
* Читатели, занимающиеся проектированием электротехнических систем, должны представить положительные и отрицательные частоты как пару вращающихся в противофазе электродинамических систем в комплексной плоскости, суммарное движение которых изображается на действительной оси.
39
Интегралы Фурье и преобразование Фурье
Амплитудный спектр рассмотренных периодических функций — дискретен (является линейным спектром). Как уже отмечалось, увеличение T уменьшает основную частоту 2я/Г и уплотняет амплитудный и фазовый спектры. В пределе дискретный спектр стремится к плавной кривой, называемой непрерывным амплитудным спектром. Кроме того, при T—мх> f(t) перестает быть периодической функцией. Дальнейшей задачей является осуществление построения непрерывного амплитудного спектра непериодических функций с помощью разложения в ряды Фурье, содержащие периодические функции. Непериодические функции представляют интерес, так как отражают фактическую картину протекания различных процессов.
Таблица 1.4
Трансформации в формулах Фурье
Рад Фурье Наименование Интеграл Фурье
Ли) Гармоническая компонента о>
со Основная частота Aw
T Период {2я/Дсо
Если f(t) —непериодическая функция, следует изменить запись полученных выражений, так как при стремлении частоты 2я/Г к нулю T становится бесконечным, а п абсурдным. Это связано с тем, что хотя основная частота со в непрерывном спектре может принимать любое значение, это обстоятельство не может быть распространено на п. По этим причинам формулы Фурье требуют некоторой корректировки в соответствии с трансформациями табл. 1.4.
Тогда (1.81) и (1.82) примут вид
OO
/(/)=2«. при> = 0, ± Лш, + 2Aw; (1. 83)
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed