Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда г—гч = Гд является решением однородного уравнения, которое из-за свойств произвольной постоянной с может быть выражено
Перенеся частное решение этого уравнения вправо, получим желаемое решение.
5. Для нахождения численных значений п констант требуется знание п значений решения уравнения и его производной. Неизвестные коэффициенты определяют решением системы уравнений при подстановке численных значений реакций и их производных.
Заметим, что их значения можно брать в известные, не обязательно одинаковые моменты времени.
г(0 = гд(0 + гч(/).
(1.12)
L{r-r4) = L(r)-L(r4) = f(t)-f(t) = 0.
г - гч = C1Г! + C2T2 + ... + Cn гп.
19
1.3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Важным направлением численных методов решения дифференциальных уравнений, рассматриваемых в данной книге, являются решения стационарных и нестационарных линейных дифференциальных уравнений.
Эти методы не'включают преобразующие функции и операторы. Хотя решения не записываются в векторно-матричной форме, методы решения пригодны для решения дифференциальных уравнений в матричном представлении.
Кроме того, несмотря на то, что преобразования Лапласа при решении линейных дифференциальных уравнений проще и во многих случаях более традиционны, чем классические методы, существуют определенные ограничения в применении метода трансформации функций. Методом преобразования Лапласа нельзя, например, решать линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. В этом случае классические методы решения могут позволить решить многие неустойчивые уравнения, имеющие практическое значение.
Освежим наши знания классических методов решения дифференциальных уравнений.
Для ряда реальных систем методы преобразования Лапласа в случае их применимости становятся громоздкими, особенно, когда условия задачи зависят от времени (или значений независимой переменной).
Эта особенность справедлива также для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Классические методы требуют знания этих условий.
Начнем изучение классических методов с простого процесса, описываемого уравнением первого порядка. Общее линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий вид:
EL-+a{t)r = f(t). (1.13)
dt
Это уравнение решается, если заметить, что оба члена левой части выражения (1.13) при некоторых условиях являются результатом взятия производной от произведения (ги), полученного умножением г на неизвестную функцию и, зависящую от /.
Таким образом,
-i-(r«) = «^- + r-^-. (1.14)
dt dt dt
Сравнивая (1.13) и (1.14), видим, что умножением левой и правой частей (1.13) на неизвестную функцию u(t) получим
и-
dr
dt
-ua(t)r=uf(t). (1. 15)
20
Чтобы левая часть уравнения (1.15) точно соответствовала производной от произведения (ги), необходимо следующее условие:
du
= ua(t).
dt
Интегрируя, находим
In«
= ^a(t)dt.
Таким образом,
Так как коэффициент а является заданной функцией времени, и может быть найдено из уравнения (1.16).
Подставляя и в уравнение (1.4), сможем записать
Заметим, что выражение в скобках — это тип свертки. Позже мы еще раз столкнемся с интегралом свертки в разделе преобразования Лапласа. Решение, представленное (1.17), является необходимым решением уравнения (1.13). Зафиксируем форму записи (1.17). Она появится снова в более общем виде при решении линейных матричных дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что простые линейные дифференциальные уравнения в век-торно-матричной записи имеют первый порядок. Решение общих линейных дифференциальных уравнений первого порядка имеет особое значение; в уравнениях с порядком, отличным от единицы, подобные решения отсутствуют.
Из-за отсутствия общих решений линейных дифференциальных Уравнений высоких порядков оставшаяся часть этой главы посвящается рассмотрению конструктивных методов решения таких стационарных линейных дифференциальных уравнений.
Возвратимся снова к классическим методам решения дифференциальных уравнений, так как они более освоены и традиционны, чем методы трансформации.
Ниже приведены классические методы решения задач для непрерывных систем.
Рассмотрим линейные процессы
dt
Тогда
X -\- kx = f(t).
21
Из уравнения (1.17) известно, что
х=е 0 И /(t)eo dx+C
Пример 1. Если k — постоянная величина и f(t)=0,
X=Ce-*'.
Если /=0, х=х0,
Пример 2. Если k — положительная константа и f(t)=A (константа),
х=С е-*' -f А е-*' ^ е*т dx=C e~w + (е*) о
=Се~*< +^-^(ew - I)=Ce-*' +— (1 - е-*')-/г /г
Если / = 0, x=x0,
. *. -^o =
И, наконец, получаем
Заметим, что
х = х0е-* + 4 (1-е-*).
^4
Hm (х)=— при &>0. ґ^-оо Aj
Это можно видеть из самого дифференциального уравнения
x-\-kx = A,
При установившемся движении ?=0, что приводит к
x = Ajk.
Пример 3. Если k — постоянно, f(t)=t и х0 = 0, получим
x=erkt jte*xrft; x=-?-^-^kxekxdt. о о
Интегрируя по частям, получим
о о
=—Г -те'+т)=т-^+^г-
22
При больших t
x«-^--±-j, если ?>0.
Таким образом, если стационарные процессы описываются уравнением первого порядка, то после того, как экспонента достигает исчезающе малого значения, решение уравнения движения системы определяется через угловой коэффициент, сдвинутый на время, численно равное угловому коэффициенту \\k.
