Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если соотношения (1.1) и (1.2) справедливы для линейных систем, то это не означает, что выполнение одного или другого условия достаточно для определения свойств линейной системы.
16
f2 фильтр Нелинейная система 7
Wl % Wf
ft фильтр Нелинейная система 2
ri(thrzlt)
Рис. 1.1. Простая нелинейная система, удовлетворяющая принципу суперпозиции и обладающая неоднородностью
Система линейна тогда и только тогда, когда удовлетворяются как (1.1), так и (1.2).
Хорошо известный пример нелинейной системы, когда выдерживается принцип суперпозиции, но не выдерживается свойство однородности, показан на рис. 1.1.
Кроме того, линейная стационарная система характеризуется ее реакцией на периодическое возмущающее воздействие.
Если периодическое возмущающее воздействие обладает частотой F, то стационарная линейная система ответит на него периодической реакцией с частотой F.
Короче говоря, реакция стационарной линейной системы обладает теми же спектральными компонентами, что и возмущающие воздействия.
Полагают, что линейная система должна быть стационарна, если
/(/_Г)-.г(*-Г). (1.3)
где T — произвольное время запаздывания.
1.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Линейные системы — это такие системы, динамика которых моделируется линейными уравнениями.
Это могут быть линейные алгебраические уравнения, линейные дифференциальные уравнения, линейные разностные уравнения или их комбинации.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
«2-^+«і^-+До = /(0. (1.4)
гДе t — независимая переменная; /(/)—функция возмущающего воздействия и г — реакция.
Коэффициенты а0, а{ и а2 — система параметров. Коэффициенты могут изменяться или не изменяться от времени, они, как пра-вило, полностью определяются количеством и типом элементов в системе.
Уравнение (1.4) —простое дифференциальное уравнение второ-о порядка. Кроме того, уравнение (1.4) является линейным уравнением по следующим причинам:
17
1) ни переменная г, ни какие-либо ее производные не содержат степени больше первой;
2) ни один из его членов не содержит произведений двух или большего числа одних и тех же зависимых переменных или произведений зависимой переменной на какую-либо производную.
Допуская принцип суперпозиции, мы приходим к следующему:
а2^LLа.a ^J__i_# г — / • 2 dV ~ 1 dt ~ 0 1 J
dt1 dt
Складывая эти уравнения, убеждаемся, что принцип суперпозиции выполняется:
"5г (гі + га) + аі^(гі + г2) + Яо(гі + г2) = (/1 + /2). dt2 dt
В дальнейшем мы увидим, что принцип суперпозиции справедлив для любых стационарных и нестационарных процессов.
Любое обыкновенное дифференциальное уравнение п-то порядка можно записать как
ап (0 (г) + ая_! (О -^- (г) +... + а0 (/) г (/) = / (/), (1.5) dtn dtn~x
где коэффициенты и возмущающее воздействие даны как функции независимой переменной /. Говорят, что это уравнение однородное, если возмущающее воздействие равно нулю, и неоднородное, если возмущающее воздействие отлично от нуля. Можно записать (1.5) в форме
ОД = /, (1.JS).
если обозначим
L=an(t)^- + ап_х(/)J^L +... + A0(г), (1. 7>
dP dtn~l
где L является оператором, зависимой переменной г.
Используя (1.6), можно сформулировать следующие основные-свойства линейных дифференциальных уравнений.
1. Умножение зависимой переменной г на постоянный множитель равносильно умножению оператора на ту же самую константу:
L(Kr) = КL (г). (1.8).
Если L(г) = 0 (случай однородного уравнения), то
1(ATr)=O. (1.9).
Из этого следует, что r(t), являющееся решением однородного уравнения L (г) = 0, служит также решением случая Kr(t).
2. Замена г на п + г2, где гх и г2 линейно независимы, приводит к сумме двух линейных операторов, один от Tu другой ОТ Го.
18
В связи с этим понятно, что
Цгх + г2) = Цгх) + Цг2)
(1.10)
и
L {г\-\-г2) = 0 только при L(rx) = L(r2) = 0.
(1. И)
Соотношения (1.10) и (1.11) утверждают, что если г{ и г2 являются решениями однородного уравнения L(r)=0, то тогда и П+Г2 является также его решением.
Из свойств 1 и 2 видно также, что если rx(t), r2(t),..., rn(t) — линейные независимые решения однородного линейного дифферен: циального уравнения, то L(r)=0, также и для их линейных комбинаций С{Г\ + с2г2-\-СгГг+ ... + спгПу когда с — независимые константы
3. Решение гд>=С\Гі + с2г2+ ... +спгп с п независимыми константами является общим решением однородного дифференциального уравнения при условии, что п частных решений гь г2,...,гп линейно независимы. И, наоборот, решения должны быть линейно независимы, если ни одно из них не может быть выражено через линейные комбинации других.
Общее решение однородного уравнения часто называют дополнительной функцией.
4. Если гч — частное решение неоднородного уравнения при L(r4)=/(0, то сумма этого частного решения и дополнительной функции является полным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Вообще, любое решение (1.4) может быть записано как комбинация дополнительной функции и частного решения (иногда называемого частным интегралом):
Можно заметить, что если r(t) —решение (1.4) и гч — частное решение (1.4), то
